2004年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上：）(n-1)x设f(x)= lim (1):则f(x)的间断点为x=n-→00 nx? +1【答】0【详解】显然当x=0时，f(x）=0；(1-X当x*0时，(x)=lim(n=1xxn-lim nx? +1x2r2n[0, x=0所以f(x) =/1X*0[x’因为lim f(x)= lim -= 80 ± f(0)X0 XT-故x=0为f(x)的间断点[x=+31+1确定，则曲线y=(x)向上凸(2)设函数以(x）由参数方程y=t3-3t+1的x取值范围为【答】(-80,1)(或(-80,1) )【详解】由题意得：dy32-3?-12dx3t2+3t?+1t? +1dxdt14td'y_d (dy)dt2Idt(dxdx3(t? +1) ~3(t2 +1)3dx?(2 +1)dy<0 →t<0dx?又x=t3+3t+1单调增，在1<0时，xe(-00,1)。（=0时，x=1=xe(-00,1)时，曲线凸）
2004 年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ） （1） 设 2 ( 1) ( ) limn 1 n x f x →∞ nx − = + , 则 f ( ) x 的间断点为 x = _ . 【答】 0 【详解】显然当 x = 0 时, f x() 0 = ; 当 x ≠ 0时, 2 2 2 1 (1 ) ( 1) 1 ( ) lim lim n n 1 1 x nx x n f x nx x x x n →∞ →∞ − − = = == + + , 所以 () f x 0, 0 1 , 0 x x x ⎧ = ⎪ = ⎨ ≠ ⎪ ⎩ , 因为 0 0 1 lim ( ) lim (0) x x f x f → → x = =∞≠ 故 x = 0 为 f ( ) x 的间断点. （2） 设函数 y x( ) 由参数方程 3 3 3 1 3 1 x t t yt t ⎧⎪ = + + ⎨ ⎪⎩ = − + 确定, 则曲线 y yx = ( ) 向上凸 的 x 取值范围为_. 【答】 （ ， −∞ ∞ 1）（或（- ，1] ） 【详解】 由题意得： 2 2 22 2 33 1 2 1 33 1 1 dy dy t t dt dx t t t dx dt − − = = = =− ++ + , 2 2 2 2 23 21 4 1 1 3( 1) 3( 1) d y d dy dt t dx t t t dt dx dx ′ ⎛⎞ ⎛ ⎞ = =− ⋅ = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ +++ , 令 2 2 0 d y dx < ⇒ t < 0 . 又 3 x =++ t t 3 1 单调增, 在 t < 0时, x∈( ,1) −∞ 。(∵ t = 0时，x = 1 ⇒ x ∈ ( ,1] −∞ 时，曲线凸.)
dx(3)xVx2-1元π-2【答】【详解】方法一：dx+00sect·tant2dt=x=sectdt2:1xV2-1sect-tant【详解】方法二：dxdt= arcsintd104:xyx2(4) 设函数=(x,)由方程==e2-= +2 确定，则3%+%Ozaxay【答】2【详解】方法一：在z=e2x-3=+2y的两边分别对x，y求偏导，z为x,y的函数0= = e2x-3=(2-39Ozaxax% = 2(-3%))+2ayay= _ 2e2-3:从而ax1+3e2x-3:2Oz_Oy1+ 3e2r-3:1+e2x-3:3%0=2.所以1+ 3e2x-3:= 2axay方法二：令 F(x,y,2)=e2x-3=+2y-z=0aFaFaF=2,= e2x-3=(-3) -1则= e2x-3: 2,OzaxdyaF2e2x-3:e2x-3: ,2Ozax1+ 3e2x-3,aF-(1 + 3e2x-3:axOz
（3） 1 2 1 dx x x +∞ = − ∫ _. 【答】 2 π 【详解】 方法一： 2 2 1 00 2 sec tan sec sec tan 2 1 dx t t x t dt dt t t x x π π +∞ ⋅ π = == − ⋅ ∫ ∫∫ . 【详解】 方法二： 0 1 1 11 0 2 0 2 2 2 1 11 ( ) arcsin 1 2 1 1 1 dx t x dt dt t xx t t t t +∞ π = −= = = − − − ∫∫ ∫ （4）设函数 z zxy = (, )由方程 2 3 2 x z ze y − = + 确定, 则3 z z x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ _. 【答】 2 【详解】 方法一： 在 2 3 2 x z ze y − = + 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 x, y 的函数. 2 3 (2 3 ) z z x z e x x ∂ ∂ − = − ∂ ∂ , 2 3 (3 ) 2 z z x z e y y ∂ ∂ − = −+ ∂ ∂ , 从而 2 3 2 3 2 1 3 x z x z z e x e − − ∂ = ∂ + , 2 3 2 1 3 x z z y e − ∂ = ∂ + 所以 2 3 2 3 1 32 2 1 3 x z x z zz e x y e − − ∂∂ + + =⋅ = ∂ ∂ + 方法二： 令 2 3 (, ,) 2 0 x z Fx y z e y z − = + −= 则 2 3 2 F x z e x ∂ − = ⋅ ∂ , 2 F y ∂ = ∂ , 2 3 ( 3) 1 F x z e z ∂ − = − − ∂ 23 23 23 23 2 2 (1 3 ) 1 3 xz xz xz xz F z ee x x ee F z − − − − ∂ ∂ ⋅ ∴ =− =− = ∂ ∂ ∂ −+ + ∂
aFOz22ayaF1 + 3e2x-3: (1 + 3e2x-3-)ayOz3e2r-3:dz1302从而2=1 + 3e2x-3:1+ 3e2x=3axdy方法三：利用全微分公式，得dz = e2x-3"(2dx-3dz)+2dy= 2e2x-3= dx + 2dy - 3e2x-3= dz(1 + 3e2x-3=)dz = 2e2x-3= dx + 2dy2e2r-3:2.. dz:1+3e2r-3=dx +1+3e2r-3:dy2e2r-3:2O2Oz即1+ 3e2r-3: ,1+ 3e2x-3:axy3%+%=2从而axoy6的特解为（5）微分方程（y+x3）dx-2xdy=0满足ylx=1515r+v【答】y=【详解】方法一：dy11原方程变形为=X2dy1先求齐次方程-V=0的通解：dx2xdy_1-dx2xy1积分得Iny==CVXInx+Inc=2设y=c(x)/x为非齐次方程的通解，代入方程得11c(x)x-!)c(x)Nx+c(x)-2Vx~2x213从而 c(x)=2r22
23 23 2 2 (1 3 ) 1 3 xz xz F z y y ee F z − − ∂ ∂ ∂ =− =− = ∂ ∂ −+ + ∂ , 从而 2 3 23 23 3 1 32 2 13 13 x z xz xz zz e xy e e − − − ∂ ∂ ⎛ ⎞ += + = ⎜ ⎟ ∂∂ + + ⎝ ⎠ 方法三： 利用全微分公式,得 2 3 (2 3 ) 2 x z dz e dx dz dy − = −+ 23 23 2 23 xz xz e dx dy e dz − − = +− 23 23 (1 3 ) 2 2 xz xz e dz e dx dy − − + =+ 2 3 23 23 2 2 13 13 x z xz xz e dz dx dy e e − ∴= + − − + + 即 2 3 2 3 2 1 3 x z x z z e x e − − ∂ = ∂ + , 2 3 2 1 3 x z z y e − ∂ = ∂ + 从而 3 2 z z x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ （5）微分方程 3 ( )2 0 y x dx xdy + −= 满足 1 6 5 x y = = 的特解为_. 【答】 1 3 5 yx x = + 【详解】 方法一： 原方程变形为 1 1 2 2 2 dy y x dx x − = , 先求齐次方程 1 0 2 dy y dx x − = 的通解: 1 2 dy dx y x = 积分得 1 ln ln ln 2 y xc = + ⇒ = y cx 设 y cx x = ( ) 为非齐次方程的通解,代入方程得 11 1 2 () () () 2 2 2 c x x cx cx x x x x ′ +− = 从而 3 2 1 ( ) 2 cx x ′ =
1.1积分得=x2 +Cc(x) =-x?dx+C=25于是非齐次方程的通解为J=VcIN+C)=C+yx+556C=1,y=l513y=Vx+故所求通解为-5方法二：dy_1-1,2原方程变形为V=dx2x2由一阶线性方程通解公式得J=ela[rdx+Cxe2dx+e01xdx+Cx+CVx156C=1,y(0)=1xy=Vx+从而所求的解为5(21 0)（6）设矩阵A=201矩阵B满足ABA=2BA*+E，其中A*为A的伴(o01随矩阵，E是单位矩阵，则B1【答】9【详解】方法：ABA*=2BA*+EABA-2BA =E, (A-2E)BA=E,:. [A-2E|BA=|E|=1
积分得 3 5 2 2 1 1 ( ) 2 5 c x x dx C x C = += + ∫ , 于是非齐次方程的通解为 5 3 2 1 1 ( ) 5 5 y x x C Cx x = += + 1 6 1 5 x y C = =⇒= , 故所求通解为 1 3 5 yxx = + . 方法二： 原方程变形为 1 1 2 2 2 dy y x dx x − = , 由一阶线性方程通解公式得 1 1 2 2 1 2 2 dx dx x x y e x e dx C ⎡ ⎤ − ∫ ∫ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 1 1 ln ln 2 2 1 2 2 x x e x e dx C ⎡ ⎤ − = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 3 5 2 2 1 1 2 5 x x dx C x x C ⎡ ⎤⎡ ⎤ = += + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ 6 (1) 1 5 y C =⇒= , 从而所求的解为 1 3 5 yxx = + . （6）设矩阵 210 120 001 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 矩阵 B 满足 ABA BA E 2 ∗ ∗ = + , 其中 A∗ 为 A 的伴 随矩阵, E 是单位矩阵, 则 B = _. 【答】 1 9 【详解】 方法一： ABA BA E 2 ∗ ∗ = + 2 ABA BA E ⇔ ∗ ∗ − = , ( 2 ) A E BA E ⇔ ∗ − = , A EBA E 2 1 ∗ ∴ − ==
11B09A-2EA*(-1)·(-1)321Al2000-10【详解】方法二：由A=AA-,得ABA"=2BA"+E =AB|A|A-I=2B|A|A-"+AA-!= |AAB=2|AB+A= [4(A-2E)B= A → [A| [A-2E|B|=|4|11:BA"[A-2E|C二，选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。）Vx(7）把x→0+时的无穷小量α=cost?dt,β=tanidt,sintdt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) α,β,y.(B) α,,β.(c) β,α,y.(D) β,y,α.【【答】应选(B)Vsint'dtlim之10【详解】= lim..x-0αcost'dtsings1micy2V= lim=lim==0=limcOsx?$→0*2Vxx→0X→0*2即 =o(α).tan Vidt2x2βtan x.2x又limlim= limlim=0V1sin.10r→0*x-→0tx-→0*Ysint'dt102/x即β=o()
2 2 1 1 11 2 01 0 ( 1) ( 1)3 9 10 0 00 1 B A EA A ∗ == == − − ⋅− − . 【详解】 方法二： 由 1 A AA ∗ − = ,得 1 11 ABA BA E AB A A B A A AA 2 2 ∗ ∗ − −− = +⇒ = + ⇒ =+ A AB A B A 2 ⇒ −= A A EB A ( 2) 3 ⇒ −= A A EB A 2 2 1 1 2 9 B AA E ∴ = = − 二. 选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把 x 0 → + 时的无穷小量 2 0 cos x α = t dt ∫ , 2 0 tan x β = t dt ∫ , 3 0 sin x γ = t dt ∫ 排 列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 （A）α , ,. β γ （B）α ,. γ β （C）β , ,. α γ （D）β ,. γ α 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 3 0 0 0 2 0 sin lim lim cos x x x x t dt t dt γ α → → + + = ∫ ∫ ∵ 3 2 2 0 1 sin 2 lim x cos x x x → + ⋅ = 3 2 0 0 lim lim 0 x x 2 2 x x x → → + + = = = , 即 γ = o( ) α . 又 2 0 0 0 3 0 tan lim lim sin x x x x tdt t dt β γ → → + + = ∫ ∫ 2 3 0 0 2 tan 2 2 lim lim 0 1 1 sin 2 2 x x xx x x x x → → + + ⋅ = == ⋅ , 即 β = o( ) γ