全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2005数学二

2005年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）(1）设y=(1+sinx)"，则dy【答】- πdx.dy=den(+sin) = (I+ sin x)*d(xln(I+sin x)【详解】cosx+ In(1+ sin x)dx= In(1 + sin x1+sinx= y(π)dx = -ndx11曲线=+(2)一的斜渐近线方程为x3【答】y=x+2(1+x)因为a=lim【详解】=limVxxr*45(1+x)x23b = lim [(x) - ax]= lim2Vx3于是所求斜渐近线方程为V=x+2xdx(3)-x)/1- x2o元【答】4【详解】令x=sint，则xdxsintcostd(2-sint)costx2)1-(2dcostTarctan(cost)I + cos? t4的解为（4）微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=O11【答】-xnx-V=-x93

2005 年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 设 x y = (1+ sin x) ，则 x=π dy = _ 【答】 − πdx . 【详解】 dy = ( ) ln(1 sin ) (1 sin ) ln(1 sin ) xx x de x d x x + =+ + cos ln(1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin x x x dx x ⎛ ⎞ =+ ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + x=π dy = y′(π )dx = −πdx. （2） 曲线 x x y 2 3 (1+ ) = 的斜渐近线方程为_. 【答】 2 3 y = x + 【详解】 因为 a= 3 2 (1 ) lim lim 1, x x y x x x x →+∞ →+∞ + = = [ ] 2 (1 ) 3 lim ( ) lim 2 3 2 3 = + − = − = →+∞ →+∞ x x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 2 3 y = x + （3） = − − ∫ 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx _ 【答】 4 π . 【详解】 令 x = sin t ，则 = − − ∫ 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx ∫ − 2 0 2 (2 sin ) cos sin cos π dt t t t t = . 4 arctan(cos ) 1 cos cos 2 0 2 0 2 π π π = − = + − ∫ t t d t （4）微分方程 xy′ + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为_. 【答】 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x

【详解】原方程等价为2y'+y=lnx,YxInxdx+C]于是通解为dx+111-xlnx-x+c,391得C=0，故所求解为y=-xlnx-由 y(1) =x399(5）当x→0时，α(x)=kx?与β(x)=/1+xarcsinx-Vcosx是等价无穷小，则k=3【答】4V1+xarcsinx-cosxβ(x)lim【详解】-limkx?x-0 α(x)x→0xarcsinx+1-cosx=limr-0 kx(/1+xarcsin x+/cosx)xarcsinx+1-cosx31lim=1x?2k x→04k得k=34（6）设α1,α2,α，均为3维列向量，记矩阵A=(αα2,α),B=(α,+α+α,α,+2α2+4α3,α,+3α+9α),如果A=1，那么B=【答】2【详解】由题设，有B=(α,+α2+α3,α,+2α2+4α3,α,+3α2+9α)[1 11=(αj,α2,α)1 2 314911于是有[B| = [A] .2 3=1x2=249二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中

【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2 ′ + = ， 于是通解为 ∫ ∫ + = ⋅ + ∫ ⋅ ∫ = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C dx x dx x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x （5）当 x → 0时， 2 α(x) = kx 与β (x) = 1+ x arcsin x − cos x 是等价无穷小， 则 k= _ 【答】 4 3 . 【详解】 2 0 0 1 arcsin cos lim ( ) ( ) lim kx x x x x x x x + − = → α → β = ( 1 arcsin cos ) arcsin 1 cos lim 2 0 kx x x x x x x x + + + − → = 2k 1 1 4 arcsin 1 cos 3 lim 2 0 = = + − → x k x x x x ， 得 . 4 3 k = （6）设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ) ( , , A = α1 α 2 α 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = α 1 +α 2 +α 3 α 1 + α 2 + α 3 α 1 + α 2 + α 3 ， 如果 A = 1，那么 B = . 【答】 2 【详解】 由题设，有 ) B = (α 1 +α 2 +α 3 ,α 1 + 2α 2 + 4α 3 ,α 1 + 3α 2 + 9α 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) α1 α 2 α 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A ⋅ = × = 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7）设函数f(x)=lim%/1+x[3"，则f(x)在(-00,+o0)内(A）处处可导(B）恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点，(D）至少有三个不可导点[]【答】应选(C)【详解】先求出 f(x)的表达式lim /1+x = lim(1+x) =10 =1(x1),lim /1+|x" = lim(1+1) = 20 =1(Ix=1),lim /1+x" =↓xP 1iml= (x>1)r因此，[1, [μ≤1,f(x):[x,x>1.由y=f(x)的表达式及它的函数图形可知，f(x)在x=±1处不可导（图形是尖点），其余点f(x)均可导，因此选（C）（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN"表示“M的充分必要条件是N"，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数【答】应选（A）

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ →∞ ，则 f(x)在(−∞,+∞) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 先求出 f(x)的表达式. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 0 1 3 0 1 33 3 3 lim 1 lim 1 1 1 1 , lim 1 lim 1 1 2 1 1 , 1 lim 1 lim 1 1 . n n n n n n n n n n n n n n n n n xx x x x x x xx x →+∞ →∞ →+∞ →∞ →+∞ →∞ + = + == < + = + == = ⎛ ⎞ + = ⎜+ ⎟ = > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 因此， 3 1, 1, ( ) , 1. x f x x x ⎧ ≤ ⎪ = ⎨ ⎪ > ⎩ 由 y fx = ( ) 的表达式及它的函数图形可知，f ( x) 在 x = ±1处不可导（图形是尖点）， 其余点 f ( ) x 均可导，因此选（C）. （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，"M ⇔ N"表示“M 的充分必要条 件是 N”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔ f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数⇔ f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔ f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔ f(x)是单调函数. 【 】 【答】 应选（A）

【详解】已知，F(x)=[f(t)dt+C若F(x)为奇函数→[f(0)dt 为偶函数= F(x)的全体原函数为偶函数又若F(x)为偶函数，则F(x)=(x)为奇函数，因此选（A）[x=T+21; 确定，则曲线 y-y(x)在 x=3 处的(9）设函数y=y(x)由参数方程y=In(1+t)法线与x轴交点的横坐标是Iln2+3.ln2 +3.(A)(B)8(C)(D) 8ln2+3-8ln2+3【【答】应选（B)【详解】当x=3时，有t+2t=3，得t=1,t=-3（舍去，此时y无意义），于是+21dyldx -l " 21+2 = 8可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3),令y=0，得其与x轴交点的横坐标为：In2+3,8故应(A)(10)设区域D=((x,)x2+≤4,x≥0,y≥0)，f(x)为D上的正值连续函数，ab为常数，则[+bdof(x)+f(y)aba+b(B)ab元.(C)(D)(A)(a+b)元.一元22【【答】应选(D)【详解】由轮换对称性，有ra)+bdga+bdo/f(x)+f(y)/f()+/f(x)+Jf(x)+f(y)f(y)+/f(x)

【详解】 已知， ∫ = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 若 F x( ) 为奇函数⇒ ( ) 0 x f t dt ∫ 为偶函数⇒ F x( ) 的全体原函数为偶函数. 又若 F ( ) x 为偶函数，则 ( ) ( ) ' F x fx = 为奇函数，因此选（A）. （9）设函数 y=y(x)由参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ln(1 ) 2 , 2 y t x t t 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的 法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) ln 2 3 8 1 + . (B) ln 2 3 8 1 − + . (C) − 8ln 2 + 3. (D) 8ln 2 + 3. 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 当 x=3 时，有 2 3 2 t + t = ，得t = 1,t = −3（舍去，此时 y 无意义）， 于是 8 1 2 2 1 1 1 1 = + + = t= t= t t dx dy ， 可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为： y − ln 2 = −8(x − 3)， 令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： ln 2 3 8 1 + , 故应(A). （10）设区域 {( , ) 4, 0, 0} 2 2 D = x y x + y ≤ x ≥ y ≥ ，f(x)为 D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则 = + + ∫∫ dσ f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) (A) abπ . (B) π 2 ab . (C) (a + b)π . (D) π 2 a + b . 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由轮换对称性，有 = + + ∫∫ dσ f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) dσ f y f x a f y b f x D ∫∫ + + ( ) ( ) ( ) ( ) = dσ f y f x a f y b f x f x f y a f x b f y D ∫∫ + + + + + ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 2 1

a+b 1元·2=a+ba+b[d:元222应选(D)(11) 设函数u(x,J)=p(x+ y)+p(x-y)+y(t)dt，其中函数β具有二阶导数，业具有一阶导数，！则必有a'uauu_au(B)(A)ax?ax"oy?oy2auauauau(C)(D)Oyaxdyaxoy"ax?【【答】应选（B)=0(x+)+p(x-)+y(++)-(x-),【详解】axu=p(x+y)-p'(x-y)+y(x+y)+y(x-y),ayau=p"(x+y)+p"(x-y)+y'(x+y)-y(x-y),ax?a'u=g"(x+y)-p(x-y)+y'(x+ y)+y'(x-y),axaya'u=@"(x+y)+p'(x-y)+y(x+y)-y(x-y),ay?uau可见有应选(B)OyEax?1，则（12）设函数f(x)=ex-l -1x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点(A)(B)x=0,x=1 都是f(x)的第二类间断点x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点(C)(D)x=0 是f(x)的第二类间断点，x=1 是f(x)的第一类间断点【【答】应选（D)【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点

= . 2 2 4 1 2 2 2 σ π π a b a b d a b D + ⋅ ⋅ = + = + ∫∫ 应选(D). （11）设函数 ∫ + − = + + − + x y x y u(x, y) ϕ(x y) ϕ(x y) ψ (t)dt , 其中函数ϕ 具有二阶导 数，ψ 具有一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ . （B） 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ . (C) 2 2 2 y u x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . (D) 2 2 2 x u x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 (x y) (x y) (x y) (x y) x u = ′ + + ′ − + + − − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， (x y) (x y) (x y) (x y) y u = ′ + − ′ − + + + − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y x u = ′′ + + ′′ − + ′ + − ′ − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y u = ′′ + − ′′ − + ′ + + ′ − ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y y u = ′′ + + ′′ − + ′ + − ′ − ∂ ∂ ϕ ϕ ψ ψ ， 可见有 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ，应选(B). （12）设函数 , 1 1 ( ) 1 − = x− x e f x 则 (A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点