2004年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析、填空题sinx(1)若lim-(cosx-b)=5，则a=，b=x-→>0ex-a【答】1, -4sinx【详解】因为lim (cosx-b)=5，且limsinx-(cosx-b)=0，所以x-0er-ax-0lim(e-a)=0，得α=1.极限化为x-→0sinx(cosx- b)= lim=(cosx-b)=1-b=5, 得 b=-4.limx→0er-ax→0x因此，a=1，b=-4e2x则(2)设y=arctane*-In2x+1dxx=1e-1【答】e? +1-x+=ln(e2x + 1) ,【详解】因为y=arctane"-2e2rexy=1+e2x2x+1dye-1所以，dxx=1e? +11xe≤x<22则f(x-1)dx =(3) 设f(x)=1,x≥21【答】2【详解】令x-1=，则有i(x-1)d=f(t)di-T', f(x)dt =[, xe dx + ('(-1)dx
2004 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = ，b = . 【答】 1，－4 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 ⋅ − = → x x b x ，所以 lim( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. (2) 设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 x 1 dy dx = = . 【答】 2 1 1 e e − + 【详解】因为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ， 1 1 1 2 2 2 + − + + ′ = x x x x e e e e y ， 所以， 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . (3) 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ < = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 2 f x dx ( 1) − = ∫ . 【答】 1 2 − 【详解】令 x − 1 = t，则有 2 1 1 1 2 2 f ( 1) ( ) x dx f t dt − − = ∫ ∫ ＝ 1 1 2 f ( ) x dt ∫− ＝ 2 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) x xe dx dx − + − ∫ ∫
-=0 +22(0 -10)100(4)设A=B=P-"AP，其中P为三阶可逆矩阵，则(o-10B2004 _ 2 A?(3 00)030【答】(00-1)【详解】因为00A20B2004 = P-' A2004 P0-1001B2004 = P-l(A°)1002 P = P-'EP = E,故(300)B2004 - 2 A? =03000-1设A=(au)是实正交矩阵，且au=1，b=(1,0,0)，则线性方程组Ax=b的解(5)是【答】(1,0,0)【详解】因为x=A-"b，而且A=(a），是实正交矩阵，于是A=A-"，A的每一个行(列）向量均为单位向量，所以aiX=A"b=A'b-a13(6)设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>DX1【答】e1【详解】由于DX=，X的分布函数为
＝ 1 1 0( ) 2 2 + − =− （4） 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ， B P AP −1 = ，其中 P 为三阶可逆矩阵, 则 − = 2004 2 B 2A ． 【答】 30 0 03 0 00 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 【详解】因为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A , B P A P 2004 −1 2004 = . 故 B = P A P = P EP = E 2004 −1 2 1002 −1 ( ) , − = 2004 2 B 2A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 . (5) 设 ( )3×3 = ij A a 是实正交矩阵，且 1 a11 = ， T b = (1,0,0) ，则线性方程组 Ax = b 的解 是 ． 【答】 (1,0,0)T 【详解】因为 x A b −1 = , 而且 ( )3×3 = ij A a 是实正交矩阵, 于是 −1 A = A T , A 的每一个行 (列)向量均为单位向量, 所以 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − 0 0 1 13 12 11 1 a a a x A b A bT . (6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X > DX } = . 【答】 e 1 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为
-e-，x>0F(x) =0,x≤0P(X>DX/=1-P(X≤DX故=1- P(X≤= 1- F(-=元e1二、选择题(7) 函数 (x) = |x/sin(x-2)在下列哪个区间内有界x(x-1)(x -2)2(C) (1,2)(A) (-1 , 0)(B) (0 , 1).(D) (2 , 3).【答】 [A]【详解】当x±0，12时，f(x)连续，而sin3sin2lim f(x)= -lim f(x) = --184x-→-11x→0sin 2limf(x)=o0，lim f(x)=lim f(x)=o0,4X→1x-2x→0+所以，函数f(x)在(-1，O)内有界，故选(A)(8)设f(x)在(-00,+0)内有定义，且 lim f(x)=a，x->00f(-),x±0则g(x) =0x=0(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点(B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关【答】 [D]【详解】 因为 lim g(x)= lim f(-)= lim (u)=a(令u=x→(x-→0100又g(0)=0，所以，当a=0时，limg(x)=g(0)，x-0即g(x)在点x=0处连续，当a±0时
⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X > DX } = 1{ } − ≤ P X DX ＝ − ≤ } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 二、选择题 (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 【答】 [A] 【详解】 当 x ≠ 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = ∞ → lim ( ) 1 f x x ， = ∞ → lim ( ) 2 f x x ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设 f (x)在(−∞ , +∞)内有定义，且 f x a x = →∞ lim ( ) ， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. 【答】 [D] 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→∞ = = = a(令 x u 1 = )， 又 g(0) = 0，所以，当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ， 即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a ≠ 0 时
limg(x)±g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点，x-0因此，g(x)在点x=0处的连续性与α的取值有关，故选(D)(9) 设 f(x)=(1 -x)l, 则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点【答】[C]【详解】设0<8<1，当x(-80)U(0,8)时，f(x)>0,而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点显然，x=0是(x)的不可导点当x e(-8, 0)时,f(x)=-x(1-x)，f"(α)=2>0,当xe(0, 8)时,f(x)=x(1 -x),f"(x)=-2<0,所以(O,0)是曲线y=f(x)的拐点。故选(C)[1,x>0(10) 设f(x)= 0,x=0 ，F(x)=[。f(t)dt,则[-1,x<0(A)F(x)在x=0点不连续(B)F(x)在(-0,+)内连续，但在x=0点不可导(C)F(x)在(-c0,+oo)内可导，且满足F(x)=f(x)(D)F(x)在(-00,+o)内可导，但不一定满足F(x)=f(x)【答】 [B]【详解】 当x<0 时，F(x)=[。(-1)dt=-x当x>0时, F(x)=J,1dt=x,当x=0时，F(0)=0.即F(x)=刚显然，F(x)在(-0,+oo)内连续，但在x=0点不可导。故选(B)(11)设f(x)在[a,b)上连续，且f'(a)>0,f(b)<0，则下列结论中错误的是
lim ( ) (0) 0 g x g x ≠ → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点， 因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D). (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. 【答】 [C] 【详解】 设 0 < δ < 1，当 x ∈ (−δ , 0) ∪ (0 , δ)时，f (x) > 0， 而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ∈ (−δ , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f ′′(x) = 2 > 0 ， 当 x ∈ (0 , δ)时，f (x) = x(1 − x)， f ′′(x) = −2 < 0， 所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). (10) 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x f x ， ∫ = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在(−∞ , +∞)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在(−∞ , +∞)内可导，且满足 F′(x) = f (x). (D) F(x)在(−∞ , +∞)内可导，但不一定满足 F′(x) = f (x). 【答】 [B] 【详解】当 x < 0 时， F x dt x x = − = − ∫0 ( ) ( 1) ； 当 x > 0 时， F x dt x x = = ∫0 ( ) 1 ， 当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， 显然，F(x)在(−∞ , +∞)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选(B). (11) 设 f ′(x)在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) < 0，则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(a)(B)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(b)(C)至少存在一点xo E(a,b)，使得f(xo)=0(D)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0【答】 [D]【详解】首先，由已知f'(x)在[a,b]上连续，且f'(a)>0,(b)<0，则由介值定理，至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0；另外, [(a)= lim /(x)-(α)>0.x-ax→at由极限的保号性，至少存在一点xoE(a,b)使得 (0)-{(>0, 即 (xo)> (a),xo-a同理，至少存在一点xoE(a,b)使得f(xo)f(b)所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D)(12）设n阶矩阵A与B等价，则必须(A)当|A=a(a0)时，[B=a(B)当|Aa(a0)时，B=-a(C)当|A±0时，IB=0.(D)当|A=0时，IB=0【答】 [D]【详解】因为当|A=0时，r(A)<n，又A与B等价，故r(B)<n，即B=0，从而选 (D)(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的αE(0,1)，数u满足P(X>ua)=α,若P(Xx)=α，则x等于(A)(B)(C)(D) Uli-a'"s-aut【答】 [B]【详解】由P(IXkx}=α，以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
(A) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 f ′(x0) = 0. (D) 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. 【答】 [D] 【详解】首先，由已知 f ′(x)在[a , b]上连续，且 f ′(a) > 0, f ′(b) < 0，则由介值定理， 至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b ，使得 f ′(x0 ) = 0； 另外， 0 ( ) ( ) ( ) lim > − − ′ = → + x a f x f a f a x a ， 由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 > − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 > f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 ∈ a b 使得 ( ) ( ) f x0 > f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). (12) 设n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0)时, | B |= −a . (C) 当| A |≠ 0时, | B |= 0 . (D) 当| A |= 0时, | B |= 0 . 【答】 [D] 【详解】 因为当| A |= 0 时, r(A) < n , 又 A 与 B 等价, 故 r(B) < n , 即| B |= 0 , 从而 选 (D). (13) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) , 对给定的α ∈(0,1), 数uα 满足 P{X > uα } = α , 若 P{| X |< x} = α , 则 x 等于 (A) 2 u α . (B) 2 u1−α . (C) 2 1 u α − . (D) u1−α . 【答】 [B] 【详解】 由 P{| X |< x} = α , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得