第一章引言 实数连续性是一个古老的数学问题，在数学分析中有其十分重要的地 位。实数连续性是极限理论的基础，从而也是数学分析课的基础。16一17 世纪微积分的酝酿和产生，人们开始了对物体的连续运动的研究。像伽利 略所研究的落体运动，开普勒研究的绕月运转的行星所扫描的扇形面积， 牛比研究的“流”等都是连续变化的量。 柯西、维尔斯特拉斯用极限理论为微积分奠定了基础后，进一步刺激 了人们建立实数连续性的必要性和迫切性。否则建立在极限概念基础上的 许多结果将失去根据，一些重要的定理将无法证明。1823年，柯西给出了 “柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集 的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪 60年代证明了“波尔察诺一魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年 提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数 的三大派理论：戴德金“分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯 特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！1892年，巴赫曼 提出了建立实数理论的一个重要原理一一区间套原理。由此，沿柯西开辟 的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基 工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基 础之上。 本文所要讨论研究的实数连续性的八大定理。它们是确界定理、单调 有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、聚点定理、致密 性定理、实数基本定理，它们从不同的角度描述了实数的连续性。在下文 中将给出八大定理及其中部分定理的互证过程。 。1-
- 1 - 第一章 引 言 实数连续性是一个古老的数学问题，在数学分析中有其十分重要的地 位。实数连续性是极限理论的基础，从而也是数学分析课的基础。16－17 世纪微积分的酝酿和产生，人们开始了对物体的连续运动的研究。像伽利 略所研究的落体运动，开普勒研究的绕月运转的行星所扫描的扇形面积， 牛比研究的“流”等都是连续变化的量。 柯西、维尔斯特拉斯用极限理论为微积分奠定了基础后，进一步刺激 了人们建立实数连续性的必要性和迫切性。否则建立在极限概念基础上的 许多结果将失去根据，一些重要的定理将无法证明。1823 年，柯西给出了 “柯西收敛定理”。而早在 1817 年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集 的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在 19 世纪 60 年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于 1872 年 提出，波莱尔于 1895 年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872 年，实数 的三大派理论：戴德金 “分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯 特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！ 1892 年，巴赫曼 提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟 的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基 工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基 础之上。 本文所要讨论研究的实数连续性的八大定理。它们是确界定理、单调 有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、聚点定理、致密 性定理、实数基本定理，它们从不同的角度描述了实数的连续性。在下文 中将给出八大定理及其中部分定理的互证过程
第二章八大定理的描述 2.1(确界定理)设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S 有下界，则S必有下确界. 2.2（单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限. 2.3(区间套定理）若a,b,是一个区间套，则在实数系中存在唯一 的一点5，使得5∈[an,b]n=l,2,.即an≤5sbn,n=l,2,. 2.4(有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则 从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,]: 2.5(柯西收敛定理)数列{a}收敛的充要条件是：对e>0,存在正 整数N,使得当n,m>N时有an-a<e. 26（聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 27（致密性定理)有界数列必含有收敛子列. 2.8(实数基本定理)对R的每一个分划AB,都存在唯一的实数r, 使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B的每一个实数. -2
- 2 - 第二章 八大定理的描述 2.1（确界定理）设 S 为非空数集.若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界. 2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限. 2.3（区间套定理） 若 a b n n , 是一个区间套,则在实数系中存在唯一 的一点 ,使得 = a b n n n , , 1,2, .即 , 1,2, n n a b n = . 2.4（有限覆盖定理）设 H 为闭区间 a b, 的一个（无限）开覆盖，则 从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 a b, . 2.5（柯西收敛定理）数列 an 收敛的充要条件是：对 0 ，存在正 整数 N ，使得当 n m N , 时有 n m a a − . 2.6（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. 2.7（致密性定理）有界数列必含有收敛子列. 2.8（实数基本定理）对 R 的每一个分划 AB ，都存在唯一的实数 r ， 使它大于或等于下类 A 中的每一个实数，小于或等于上类 B 的每一个实数
第二章第三章八大定理的互相证明 3.1用确界定理证明其它定理： 3.1.1用确界定理证明单调有界定理 证不妨设{a,}为有上界的递增数列，由确界原理，数列{a,}有上确界 记a=sup{a,n}.下面证明a就是{an}的极限.事实上，任给e>0,按上确界 的定义，存在数列{a}中的一项aw,使的a-s<aw·又由{a,}的递增性，当 a≥N时有a-s<av≤an· 另一方面，由于a是{a}的一个上界，故对一切an都有an≤a<a+s.所以当 n≥N时有 a-8<a<a+8, 这就证得1ima,=a.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它 的下确界. 3.1.2用确界定理证明区间套定理2 证设{x}是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得，r,使 r=sup{n}因为对n,有xn≤r,并对VE<0,3rv,有xw<r-e.又因为对 n>N,有r-s≤xw≤xn≤r,即lx-<6.所以有，Iimx,=r. 单调下降有下界情况同理可证 3.1.3用确界定理证明有限覆盖定理3) 证设E是闭区间[a,b]的一个覆盖. 定义数集A仁{x之a区间a,x在E中存在有限开覆盖}， 从区间的左端点x=a开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右 侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可 见，若x∈A,则整个区间[a,xcA. 若A无上界，则bEA,那么[a,)在E中存在有限子覆盖 3-
- 3 - 第二章 第三章 八大定理的互相证明 3.1 用确界定理证明其它定理： 3.1.1 用确界定理证明单调有界定理[1] 证 不妨设 an 为有上界的递增数列，由确界原理，数列 an 有上确界， 记 a a = sup n .下面证明 a 就是 an 的极限.事实上，任给 0 ，按上确界 的定义，存在数列 an 中的一项 N a ，使的 N a a − .又由 an 的递增性，当 a N 时有 N n a a a − . 另一方面，由于 a 是 an 的一个上界，故对一切 n a 都有 n a a a + .所以当 n N 时有 n a a a − + , 这就证得 lim n n a a → = .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它 的下确界. □ 3.1.2 用确界定理证明区间套定理[2] 证 设 xn 是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得， r ,使 r x = sup n.因为对 , n n r 有x ，并对 0, N N − x x r ,有 .又因为对 , N n − n N r x x r 有 ，即 n x r − .所以有， lim n n x r → = . 单调下降有下界情况同理可证. □ 3.1.3 用确界定理证明有限覆盖定理[3] 证 设 E 是闭区间 a b, 的一个覆盖. 定义数集 A x a a x E = , 区间 在 中存在有限开覆盖 , 从区间的左端点 x a = 开始.由于在 E 中有一个开区间覆盖 a ,因此 a 及其右 侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集 A 是非空的.从数集 A 的定义可 见,若 x A ,则整个区间 a x A , . 若 A 无上界,则 b A ,那么 a b, 在 E 中存在有限子覆盖
若A有上界，由确界定理可得r,使r=supA. 所以r<r,都有r∈A.事实上，(r-x)>0,y,使得y>r-(r-x)=x. 因为[a,y在E中存在有限子覆盖，所以[a,xc[a,y在E中存在有限子覆盖 下证b<r.用反证法.如果不然，r≤b,则r∈[a,因此，在E中存在有 开区间覆盖E覆盖r.3a,h,∈E。,使a。<r<b,. 由上面论证知a,∈A,也即区间[a,a,]在E中存在有限子覆盖，向这个有限 子覆盖再加上开区间E。,即成为[a,b]的覆盖. 所以b∈A,与r=supA矛盾. 3.1.4用确界定理证明致密性定理4！ 证设数列{x}是有界数列.定义数集 A={x{x}中大于的点有无穷多个} 因为{x}有界，所以A有上界且非空.由确界定理可得3r,使r=supA. 则e>0,有r-8不是A的上界.所以{x}中大于r-s的项有无穷多个 因为r+6是A的上界所以{x,}中大于r+6的项只有有限个所以在 (-6,r+6)中有{x}的无穷多项，即 e>0,n,3n>N,使xn∈(r-6,r+e) 取s=13n,使xn∈(r+1,r-1),即。-<1， 取=方n>m有k-小分如此维续下去。 取s=n>n,有郁。-小水由此得到}的子数列{化}当k→∞时， x-r.所以{x}存在收敛子数列. 3.1.5用确界定理证明实数基本定理2) 证对给定R的一个分划AB,由于beB,b是集合A的上界，由确 界定理可得，集合A有上确界r,即a∈A有a≤r.因为r是集合A的上确界， 所以r是集合A的全体上界的最小数，即为上确界.对Vb∈B,有r≤b.口 -4-
- 4 - 若 A 有上界, 由确界定理可得 r ,使 r A = sup . 所以 x r ，都有 x A.事实上， − (r x y ) 0, ,使得 y r r x x − − = ( ) . 因为 a y, 在 E 中存在有限子覆盖，所以 a x a y , , 在 E 中存在有限子覆盖 下证 b r .用反证法.如果不然， r b ，则 r a b , .因此，在 E 中存在有一 开区间覆盖 E 覆盖 r. 0 0 0 0 a b E a r b , , . 使 由上面论证知 0 a A ，也即区间 a a, 0 在 E 中存在有限子覆盖，向这个有限 子覆盖再加上开区间 E ，即成为 a b, 的覆盖. 所以 0 b A ，与 r A = sup 矛盾. □ 3.1.4 用确界定理证明致密性定理[4] 证 设数列 xn 是有界数列.定义数集 A x x x = n中大于 的点有无穷多个 因为 xn 有界，所以 A 有上界且非空.由确界定理可得 r ,使 r A = sup . 则 0 ，有 r − 不是 A 的上界. 所以 xn 中大于 r − 的项有无穷多个. 因为 r + 是 A 的上界 所以 xn 中大于 r + 的项只有有限个.所以在 (r r − + , ) 中有 xn 的无穷多项，即 − + 0, , , , n n N x r r 使 n ( ) ( ) 1 1 1 1, , 1, 1 , 1 n n 取s n x r r x r = + − − 使 即 ， 1 2 1 1 1 , , , 2 2 n 取s n n x r = − 有 如此继续下去， 1 1 1 , , , k i i n s n n x r k k 取 = − − 有 由此得到 xn 的子数列 xnk ，当 k → 时， kn x r − .所以 xn 存在收敛子数列. □ 3.1.5 用确界定理证明实数基本定理[2] 证 对给定 R 的一个分划 AB ，由于 b B， b 是集合 A 的上界，由确 界定理可得，集合 A 有上确界 r ，即 a A a r 有 .因为 r 是集合 A 的上确界， 所以 r 是集合 A 的全体上界的最小数,即为上确界.对 b B r b ,有 . □
3.2用单调有界定理证明其它定理： 3.2.1用单调有界定理证明确界定理[31 证已知实数集A非空.3a∈A,不妨设a不是A的上界，另外，知b是 A的上界，记a=4,6=6,用4：4的中点A二等分[4，如果 a色∈B,则取，=4,6=马：如果十eA,则取4=4,6=h 如此继续下去，便得两串序列{a,},}其中a,∈A单调上升有上界（例如 么)，6eB单调下降有下界（例如a)并且6-a,=,2(n→）.由单调 有界定理，知3r，使1ima.=.由1im(bn-an)=0,有1iman+(亿n-a)=r. 因为{b}是A的上界，所以x∈A,有x≤b,(n=1,2,),令n→n,x≤limb。=r, 所以r是A的上界 s>0,由lima,=r知3N,当n>N,有r-6<a,得3X∈A,使r-6<an<X 所以r=supA. 同理可证：非空有下界数集必有下确界 3.2.2用单调有界定理证明区间套定理31 证根据区间套定义可知{an}为单调有界数列.另依据单调有界定理， {an}有极限5，且有 an≤5，n=12,. 同理，递减有界数列b,}也有极限，并按区间套的条件有 limb。=lima=5, 且 bn25,n=1,2,. 5-
- 5 - 3.2 用单调有界定理证明其它定理： 3.2.1 用单调有界定理证明确界定理[3] 证 已知实数集 A 非空. a A ，不妨设 a 不是 A 的上界，另外，知 b 是 A 的上界，记 1 1 a a b b = = , ，用 1 1 a b, 的中点 1 1 2 a b + 二等分 a b 1 1 , ，如果 1 1 2 a b B + ，则取 1 1 2 1 2 , 2 a b a a b + = = ；如果 1 1 2 a b A + ，则取 1 1 2 2 1 , ; 2 a b a b b + = = 如此继续下去，便得两串序列 a b n n .其中 n a A 单调上升有上界（例如 1 b ）， b B n 单调下降有下界（例如 1 a ）并且 ( ) 1 1 2 n n b a b a n − − = → .由单调 有界定理，知 r ，使 lim n n a r → = .由 lim 0 ( n n ) n b a → − = ,有 lim n n n ( ) n a b a r → + − = . 因为 bn 是 A 的上界，所以 , ( 1,2, ), n = x A x b n 有 令 , lim , n n n x b r → → = 所以 r 是 A 的上界. 0, lim , n n n a n N a → 由 =r知 N，当 ，有r- 得 , , X A r a X n − 使 所以 r A = sup . 同理可证：非空有下界数集必有下确界. □ 3.2.2 用单调有界定理证明区间套定理[3] 证 根据区间套定义可知 an 为单调有界数列.另依据单调有界定理， an 有极限 ，且有 , 1,2, . n a n = 同理，递减有界数列 bn 也有极限，并按区间套的条件有 lim lim , n n n n b a → → = = 且 , 1,2, . n b n =