作者：月浩2011年9月 F(x)=2f(x)[f()d-Lf(x)=f(x)2[f()dt-f(x)] 记g(x)=2fu)d-f(x),则 g'(x)=2fx)-2fx)f"(x)=2f(x)1-f'(x月>0， 又g0)=0,所以g(x)>0(x>0) 从而F"(x)=fx)2f)d-f(x>0(x>0), 考虑到F(O)=0,便得F(x)>0(x>0).特别地有F)>0,即结论成立。 证法2根据Cauchy中值定理，得 I[f(x)dx]If(x)dx-f(x)dx 2()f(x)dx [Lf(x)T'dx (x)'dx-[Lf(x)'dx f(5) 2f'm)fx)d+2f2() 3f(n)f'(n) 又2fx)dk>2fx)f"(x)=f2(),所以 fxk22fmfk+2fm产mf"m)+2fm>1, [Lf(x)dx 3f2(m)f'(n) 3f(n)f'(n) 故结论成立 4.若)∈Ca,1f)=0,阳5∈a,1,使得f传)= 24 图为=的+r生空x-兰+0-生 所以 e=r生x-生k+/x-生a roa-生a。 记f"(x)在[a,b]上的最大最小值分别为M,m,则 Page 14 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 14 of 49 ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] ( )[2 ( ) ( )] 2 0 3 0 F x f x f t dt f x f x f t dt f x x x ¢ = - = - ò ò ． 记 ( ) 2 ( ) ( ) 2 0 g x f t dt f x x = - ò ，则 g¢(x) = 2 f (x) - 2 f (x) f ¢(x) = 2 f (x)[1- f ¢(x)] > 0 ， 又 g(0) = 0 ，所以 g(x) > 0 (x > 0)． 从而 ( ) ( )[2 ( ) ( )] 0 ( 0) 2 0 ¢ = - > > ò F x f x f t dt f x x x ， 考虑到 F(0) = 0 ，便得 F(x) > 0 (x > 0) ．特别地有 F(1) > 0，即结论成立． 证法 2 根据 Cauchy 中值定理，得 , 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( )] [ ( ) ] 2 2 0 3 0 0 0 3 1 0 3 2 0 0 2 1 0 1 0 3 2 1 0 h h h h x x h x f f f f x dx f f f f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ¢ ¢ + = = - - = ò ò ò ò ò ò ò ò 又 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 h h h f x dx > f x f ¢ x dx = f ò ò ，所以 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( )] [ ( ) ] 2 2 2 2 2 0 1 0 3 2 1 0 > ¢ ¢ + > ¢ ¢ + = ò ò ò h h h h h h h h h h f f f f f f f f f x dx f f x dx f x dx ， 故结论成立． 14．若 ( ) [ , ] 2 f x ÎC a b ， ) 0 2 ( = a + b f ，则$x Î[a,b]，使得 ò - ¢¢ = b a f x dx b a f ( ) ( ) 24 ( ) 3 x ． 解 因为 2 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a b f x a b x a b f a b f x f + + ¢¢ - + - + + ¢ + = h ， 所以 ò 。 + = ¢¢ - ò + ò + ¢¢ - + - + = ¢ ò b a b a b a b a dx a b f x dx a b dx f x a b x a b f x dx f 2 2 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 )( 2 ( ) ( h h 记 f ¢¢(x) 在[a,b]上的最大最小值分别为M ,m ，则
作者：闫浩2011年9月 m-生≤fx-≤M-生. 所以ms rm-在r:-0生在 2 sM 8-aa 1(6-a 故存在Ee(a,b),使得 BnKx-atby ds 2 f"()= o-a明 从而 动na "(5)= 注：此题不能错误的利用积分中值定理 15.设f)在[a.1上=阶可导，且f)<0,试i证：/x达≤(b-o生) 法一（泰勒公式、定积分的比较定理）利用泰勒公式：令口牛也=x,·写出了)在点无 2 处的带拉格朗日余项的一阶 事精公式=+，-0- 因为f"(x)<0,所以有fx)<f(x)+f"(xx-x) 再利用定积分的性质，得到 ∫心fx)d<∫fx)+f'(xx-x)d 图为广/x达=6-a=6-a生 ,x-xd=fx,fx-a+色a 2 =-生学0 故有广达<6-a的. 法二（原函数的概念、泰勒公式、牛顿一莱布尼兹公式）设F(x)=f(x),则 F"(x)=∫"(x)<0,利用泰勒公式得 Page 15 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 15 of 49 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ) ( )( 2 ( a b M x a b f x a b m x + £ - + £ ¢¢ - + - h ， 所以 M b a dx a b f x dx a b x dx a b f x m b a b a b a £ - ò + ¢¢ - = ò + - ò + ¢¢ - £ 3 2 2 2 ( ) 12 1 ) 2 ( )( ) 2 ( ) 2 (h)( h ， 故存在x Î (a,b)，使得 3 2 ( ) 12 1 ) 2 ( )( ( ) b a dx a b f x f b a - ò + ¢¢ - ¢¢ = h x ， 从而 ò - ¢¢ = b a f x dx b a f ( ) ( ) 24 ( ) 3 x ． 注:此题不能错误的利用积分中值定理. 15． 设 f (x) 在[a,b]上二阶可导，且 f ¢¢(x) < 0，试证： ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a + £ - ò ． 法一（泰勒公式、定积分的比较定理） 利用泰勒公式： 令 0 2 x a b = + ，写出 f (x) 在点 0 x 处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 2 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x - ¢¢ = + ¢ - + x 因为 f ¢¢(x) < 0，所以有 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x < f x + f ¢ x x - x 再利用定积分的性质，得到 ò ò ò < + ¢ - b a b a b a f (x)dx f (x )dx f (x )(x x )dx 0 0 0 因为 ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( 0 0 a b f x dx f x b a b a f b a + = - = - ò ) 0 2 ( 2 1 ( ) ) 2 ( )( ) ( ) ( 2 0 0 0 0 = + = ¢ - + ¢ - = ¢ - ò ò b a b a b a a b f x x dx a b f x x x dx f x x ， 故有 ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a + < - ò ． 法 二 （ 原 函数的 概 念 、泰勒公式、 牛顿— 莱布尼兹 公式）设 F¢(x) = f (x) ， 则 F¢¢¢(x) = f ¢¢(x) < 0 ，利用泰勒公式得