作者：月浩2011年9月 微积分B(1)第九次习题课题目参考答案 (第12周) 一、不定积分 1.求不定积分 (1)fed (2)∫max{x2,x2,1 解（原函数的概念，分段函数的原函数） aDe州k=人e+G,x20其中-1+G=1+C2,即G=2+C2 e*+C2.x<0, C.x<ck (2)jmx3,2,=x+G,-1sx≤其中C=C-子C=C2+ 月4G 解（不定积分概念） 因为「xfx)dk=arctanx+C,所以xf(x)=[arctanx+C] 1+2,因此 -0*s-0+c 3.已知f'(2+cosx)=tan2x+sin2x,求f(x)的表达式。 解（原函数的概念，复合函数的导数，凑微分法） 因为f"(2+cosx)=an2x+sim2x,所以 (f(2+cosx))'=f(2+cosx)(-sinx) =an2x+2x-血)=（cos5n功 因此f(2+cosx)=j 1 11 -cos2 x)(-sin x)dx=- cos2x 05+C 故f=2-+写2-+C Page 1 of 15
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 1 of 15 微积分 B(1)第九次习题课题目参考答案 （第 12 周） 一、不定积分 1．求不定积分 （1） e dx x ò - ； （2） x x dx ò max{ , ,1} 3 2 ； 解 （原函数的概念，分段函数的原函数） （1） ïî ï í ì + < - + ³ ò = - - , 0, , 0; 2 1 e C x e C x e dx x x x 其中 1 2 -1+ C = 1+ C ，即 1 2 C = 2 + C ． （2） ï ï î ï ï í ì + > + - £ £ + < - ò = , 1, 4 1 , 1 1; , 1; 3 1 max{ , ,1} 3 4 2 1 3 3 2 x C x x C x x C x x x dx 其中 4 3 , 3 2 C1 = C2 - C3 = C2 + ． 2． 设 xf x dx = x + C ò ( ) arctan ，求 ò dx f (x) 1 ． 解 （不定积分概念） 因为 xf x dx = x + C ò ( ) arctan ，所以 2 1 1 ( ) [arctan ] x xf x x C + = + ¢ = ，因此 dx x x dx x x C f x ò = ò + = + ) + 2 1 (1 2 1 (1 ) ( ) 1 2 2 2 ． 3．已知 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin ，求 f (x)的表达式． 解 （原函数的概念，复合函数的导数，凑微分法） 因为 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin ，所以 cos )( sin )， cos 1 (tan sin )( sin ) ( ( (2 cos )) (2 cos )( sin ) 2 2 2 2 x x x x x x f x f x x = + - = - - + ¢ = ¢ + - 因此 x C x x x dx x f + x = ò - - = - - + 2 3 2 cos 3 1 cos 1 cos )( sin ) cos 1 (2 cos ) ( ， 故 x C x f x + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ．
作者：目浩201年9月 另解令1=2+c0sx,根据f2+c0sx)=tan2x+sm2x得 f0=a-2-u-2y 积分得/0=+0-+C,放=2-P+C. 4函数f)=厂rrs0 2>0在-+四上有设有原西数 解（原函数的概念，导函数的介值性质） =mrrs0 x>0在(-D,+0)上没有原函数，因为f)在(-0，+切)上不满足介值 性质，所以它不可能是某个函数的导函数 男看接P四-me国国，则多有四-G8包想知 F(0)=0,F(0)不存在，这与F'(O)=fO)=0矛盾 5.求下列不定积分 解(1)（凑微分法） 世周-c 注本题也可用分部积分法求解。 (2)(凑微分法) sin xcosx (a2-b2)sin2x+b2 dsin2x 02-62 +C,a2≠62 2羽5n2x+C a2=62 (3)(凑微分法) 偶-得 f() f'(x)2 周 Page 2 of 15
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 2 of 15 另解 令t = 2 + cos x ，根据 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin 得 2 2 ( 2) ( 2) 1 ( ) - - - ¢ = t t f t ， 积分得 t C t f t + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ，故 x C x f x + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ． 4．函数 ïî ï í ì > - £ = 0 2 1 sin 0 ( ) x x x x f x 在(-¥,+¥) 上有没有原函数？ 解 （原函数的概念，导函数的介值性质） ïî ï í ì > - £ = 0 2 1 sin 0 ( ) x x x x f x 在(-¥,+¥) 上没有原函数，因为 f (x) 在(-¥,+¥) 上不满足介值 性质，所以它不可能是某个函数的导函数． 另 解 若设 F¢(x) = f (x), x Î (-¥,+¥) ，则必有 î í ì + + > + £ = 1 , 0, cos , 0, ( ) x C x x C x F x 但易知 ¢(0) = 0 F- ， (0) + F¢ 不存在，这与 F¢(0) = f (0) = 0 矛盾． 5．求下列不定积分 解 （1）（凑微分法） C x x x x d x x dx x x x ÷ + ø ö ç è æ - + ò ÷ = ø ö ç è æ - + - + = - + ò - 2 2 1 1 ln 4 1 1 1 ln 1 1 ln 2 1 1 1 ln 1 1 ； 注 本题也可用分部积分法求解． （2）（凑微分法） dx a x b x x x ò + 2 2 2 2 sin cos sin cos ï ï î ï ï í ì + = + ¹ - - + ò = - + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin , 2 1 , ; ( )sin ( )sin sin 2 1 x C a b b C a b a b a b x b a b x b d x ； （3）（凑微分法） C； f x f x f x f x d f x f x dx f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x f x f x + ú û ù ê ë é ¢ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ ¢ = ¢ ¢ - ¢¢ ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò ò ò 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [
作者：月浩2011年9月 另解（分部积分法 因为 偏-得得高 f'x)f(x 偏·淄沿 隈 a得9a f'(x)f"(x (4)(凑微分法) n可应e血c (5)(凑微分法) Jx-a-ax-可 '(x-a)(x-a)(x-a+a-b) - x-a 4-+C 1 a=b (6)(第二换元积分法) 1a 100 =*+n+品-+C 1 2 (7)(拆项、凑微分法) 1+cosx +alo对C 2 牛本=A+识-j6e+ew-0碳o-wh 1-cos-x Page 3 of 15
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 3 of 15 另解 （分部积分法） 因为 dx f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x d f x f x dx f x f x dx f x f x f x f x f x ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 3 2 2 3 2 2 2 3 2 ¢ ¢¢ - ¢ - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ - ¢ ¢ + ¢ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ ¢ + ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò ò ò ò ò ò 所以 C； f x f x dx f x f x f x f x f x + ú û ù ê ë é ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò 2 3 2 ( ) ( ) 2 1 ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ （4）（凑微分法） e dx e C x x x x = + + + - + - ò 2 2 1 1 1 1 2 3 (1 ) ； （5）（凑微分法） ò (x - a) (x - a)(x - b) dx ； ï ï î ï ï í ì + = - + ¹ - - + - ò = - - + ÷ ø ö ç è æ - = - ò - - - + - = C a b a x C a b x a a b b a x a a b x a d x a x a x a a b dx , 1 1 , ; 2 1 1 ( ) ( )( ) （6）（第二换元积分法） ò - ò = + + = dt t t dx x x x t 100 1 4 100 4 ( 1) ( 1) C t t t t t dt t t t t t = - + - + - + = ò - + - + 95 96 97 98 99 96 97 98 99 100 99 1 49 2 97 6 24 1 95 1 ) 1 4 6 4 1 ( （7）（拆项、凑微分法） x C x dx x x dx x dx x x = - + + + = + + + ò ò ò ln(1 cos ) 2 tan 1 cos sin 2 2cos 1 1 cos 1 sin 2 ． 或 ( ) ò ò ò = + - - - + - = + + dx x x x x x dx x x x dx x x csc csc csc cot cot 1 cos (1 sin )(1 cos ) 1 cos 1 sin 2 2
作者：目浩201年9月 (8)(拆项、凑微分法) 温4 5cosx+2sinx =x+In5cosx+2sin x+C 主∫g本=1++B血 Acosx+Bsinx (9)(有理化、凑微分法) =i-a =j[I+x)WF-x√1+x]k -x+2+2+-2+x+c (10)(第二换元积分法、凑微分法) 3 V2 tant -2r3-5n2r+54c. V2x (11)(第二换元积分法、凑微分法) 0+rW,s”ieos动 =?(eost+sa)+C=+x北n h+x2+C。 (12)(第二换元积分法) r c. x-2x- 德袋分法侣4 Page 4 of 15
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 4 of 15 （8）（拆项、凑微分法） dx x x x x ò + - 5cos 2sin 7cos 3sin x x x C dx x x x x x x = + + + ò + + + - + = ln 5cos 2sin 5cos 2sin 5cos 2sin ( 5sin 2cos ) 注 dx A x B x C A x B x D A x B x dx A x B x a x b x ò ò + - + + + = + + cos sin ( sin cos ) ( cos sin ) cos sin cos sin ． （9）（有理化、凑微分法） = ò + - + ò = ò + - + + + + x x x x dx dx x x x x dx x x x x [(1 ) 1 ] [ 1 ] (1 ) 1 (1 ) = x x + x x + + x + x - (1+ x) 1+ x +C 5 2 (1 ) 1 3 2 5 2 3 2 2 2 （10）（第二换元积分法、凑微分法） 3 tan 2 2 2 2 2 2 2 3 sec 2 3 2 3 1 2 sec 3 3 2 sin cos tan 2 sin 1 3 [ ] 3[sec ln | csc cot | cos sin 2 3 3 2 3 3 ln 2 x t t x dx tdt dt x t t t t dt t t t C t t x x C x = + = = = + = - - + + + = + - + ò ò ò ò 。 （11）（第二换元积分法、凑微分法） C 。 x x e t t C e dx e tdt x x e t x t x x t + + + = + + = ò = ò + + = 2 arctan arctan 2 2 arctan 1 (1 ) (cos sin ) 2 cos (1 ) 1 （12）（第二换元积分法） x x x C x dx x x dx ò = - + - + + - - ò = - - 5 6) 2 5 ln( 4 1 ) 2 5 ( ( 2)( 3) 2 2 ． （13）（凑微分法）ò + - dx x x x x 1 sin cos cos sin
作者：月浩2011年9月 cosx-sin x dx -小， -, =2arctan(cosx+sin x)+C (楼微分法)中o sinx+cosx , - 5)(缘合逼：凑微分法，第二执元积分法，解方程22产 sinx 因为 jos-snk=fd(sinx+cos） =In(sin x+cosx+2+sin 2x)+C, 2+sin 2x 1+(sin x+cosx)2 (sin x-cos x) 2+sin 2x 3-(sinx-cosx)2 =arcsin(Sinx-c sx)+C. √3 所以 esin ino)-lndGin.ominc. sinx (16)(凑微分法.注意分情况讨论) 当a≠0时， Page 5 of 15
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 5 of 15 ò + - dx x x x x 1 sin cos cos sin ò + + - = dx x x x x sin cos 2 1 2 1 cos sin ò + + - = dx x x x x 2 1 (cos sin ) 2(cos sin ) ò + + + = 2 1 (cos sin ) (cos sin ) 2 x x d x x = 2arctan(cos x + sin x) +C （14）（凑微分法）ò + + dx x x x x 1 sin cos sin cos ò + + dx x x x x 1 sin cos cos sin ò - + + = dx x x x x sin cos 2 1 2 3 cos sin ò - - + = dx x x x x 2 3 (sin cos ) 2(cos sin ) C 。 x x x x x x d x x + - + + - = ò - - - = 3 sin cos 3 sin cos ln 3 1 3 (sin cos ) (sin cos ) 2 2 （15）（综合题：凑微分法、第二换元积分法、解方程） dx x x ò 2 + sin 2 sin 因为 x x x C x x d x x dx x x x ò = + + + + + + + ò = + - ln(sin cos 2 sin 2 ) 1 (sin cos ) (sin cos ) 2 sin 2 cos sin 2 ， 2 cos sin (sin cos ) sin cos arcsin( ) 2 sin 2 3 3 (sin cos ) x x d x x x x dx C x x x + - - = = + + - - ò ò ， 所以 dx x x ò 2 + sin 2 sin 1 sin cos arcsin( ) ln(sin cos 2 sin 2 ) 2 3 x x x x x C é ù - = - + + + + ê ú ë û ． （16）（凑微分法．注意分情况讨论） 当 a ¹ 0 时