可得 m=∑x++∑xx 当m+p时,可知对称函数 ∑增鸡=5mp一5m+P, 当mp时 十2∑xrx 即对称函数 ∑(xx)=(2-r2) 3)再考虑有三个不同因子的对称函数∑x7xx 如果m,Pq,各不相等,且m+q÷P,p十q÷m时, ∑x一∑*十∑x十∑xxx 由(2)可知 m一+〓馴m一59十sm一+q+E!x 因此 Exx一加m一m一+的一m+Fm十25m+P+q 如果m,P,q各不相等但m十q=p时,则得 1 ∑x5mp一5mp一子 如果m,P,q各不相等但p+q-m时,则得 ∑x“m一15m+-1品-5m+y+35m 如果m=p则得 2∑(x*x)帅x=5一5m5一25m+qm+22m+ 又如果m〓P-q,即 62(x1x:x)一-3snm+253m 即∑可以成为初等对称函数。由此方法续行,可以证明本定理 §1l.两个代数方程有无公根 以前讲过了一个重要原则如果有一组非全为0的数x1;…,xn使得 则
这一原则十分重要,并且是一个经常用的工具,现在举几个例子来说明此法的应用。 例1假定 x*十a1x3+a2x2十ax 有一个公根ξ.则 a ga3+a1}+a253+a:52+a45=0, a1}3+a252+35 b56+b5+b*+b35=0, b十b十b2好十b2=0, b十b1}3+b252+b:5=0, b3十b十b十h2=0 可以看为七个线性方程,有一个解答 这是不全等于0的解答,因此 4 41 43 44 be b, b b3 0 b0 b1 b, b300 0 00 bg b, b2 b, 这便是方程(1),(2)有公根的条件了 一般讲来 g 有公根的条件可以由 xmf(x)=0,…,xf(x)=0,f(x)=0, x"-2g(*)=0,…,xg(x)0=0,g(x)=0, 消去x+n-1,…,x,1而得出的行列式 如果f(x)=0根是a,……,an,g(x)=0的根是A1,…,m,则 7II(- 1 这个定理的证明这儿不谈了 例2算出 (r)=r+ pr+q=0 有重根的条件,也便是求出f(x)-0,f(x)=0有公根的条件
10pq0 2p-3q0 30P00 030p0 0030 即如果f(x)有重根,则4p3+27q2=0 实质上这个定理不要郊此证明的,因为 f(x)〓3x2+p 由f(x)-0解得 代人f(x)0,即得所求 习题1求出 +5px+5p'r+q 有重根的条件。 512.代数曲线的交点 命f(x,y),g(x,y)代表xy的多项式;则 fc 各代表一条代数曲线,何题是求这两条代数曲线的交点 方法是:把∫(x,y)与g(x,y)看成为x的多项式,其系数是y的函数.由上节的 方法消去y即得一个行列式展开行列式便得y的多项式使行列式=0,解出y然后再 解出x来 例求椭圆 与双曲线 的交点 从 消去x2,x得 b2
由此解出y,然后由x-1算出x 注意这些方法虽然用行列式的方法表达但在实际应用时,还是用消去法的好 §13.行列式的幂级数 行列式的另一定义是 这儿8n=1,如果 …,)是偶置换,4,-一1,如果(,∷)是奇 置换 这一定义看来较抽象,并且在具体计算时工作量很为烦重但是在理论上仍然十分有 用,我们现在举一个十分重要的用场. 定理1命 表示n个幂级数,并且都当|z|<p时收敛,则当 1 =,<p,.,as< 时,有次之恒等式 …,f(zn) 证明由行列式的展开法可知此式左边等于 8;"-n,(x1)…fn(zn) ∑alai…a}如a 0Fn=3 83;n2a z……·z 1>2>…>lm
即得本定理 特别取 f( )=f(x:z) 及 f()=a十a1z+a2z2+… 代人 即得 定理2命 f(a) 表示一个当|!<p时收做的幂级数则当xr;;<p时, f(xy) f(xny1),…f(xyn) daLa···4t x1, 再取特例 f(z)=(1一x) 则有 定理3当|xy;<1时 , △(x,…,x)A(y,;…,y) ∏IT(1-x;y) 这儿△(x1…xn) (x;-x; 证明由定理2可知我们需要证明的是