1一x1y 1一xy 1, xn)△(y III(I-xiy xayi y 这个恒等式可以从下一定理中换变数即得 定理4( Cauchy) x1十 △(x1;…,xn)△( 1 III(;+yi) 证明从第二、第三3…第n行中各减第一行,且利用 十 (x1+yh)(x+ h=1,2,,# 可知上面的行列式等于 +y2 xn十y1xn十yz 十 由第二第三……第n列中冬减去第一列,则以上的行列式等于 (x;+y1) 由归纳法得出本定理 514 Wronski行列式的幂级数展开 由于 ……=△(a1…x)P(a1,……,z), 此处P是x1……z的齐次函数,其次数等于 l1+……+ln一(n-1)-(n-2) 2-1 l+…+ln-1m(n-1) 由于l1>l>…>l≥0,所以除
h1-n-1,l2 以外,P的次数常大于0,因此当x1→0,,z→0时,P(≈1,a23…,zn→0。因此 在定理131的假定下 m f,) fn(0) 1!2!…(n-1) 升(0),…,f(0) 换变数可得 定理1如果 f(z),…,fn(x) 在z=20时解析,则 f. u) f, (sn) f(x),……,f(a -D)inin-p) f-1(z0 习题用带余项的 Taylor公式来处理本定理,减弱关于f4(x),……;f(z)的限制 特别取 1. (x)= x, I, 则得 ',…,z lim l(l1-1) (-1) Is I!21…(n一1)! 在定理13中两边除以△(x1;…,zn)再命x1→z…,→z,则得
定理2在定理131假定下 f:(z),…,fn(x) f-1(x),…,“)(x △(h1,…·,ln)… …×x+4n-是m(-D 此式的左端称为函数f,……,f的 wronski行列式
第二章矩阵的相抵性 5I.符号 我们用A=Am代表m行n列的矩阵,而A-A)=Am表示n行列的方阵 单行矩阵(m=1)称为矢量(成称为行矢量),单列矩阵(n=1)称为列矢量 如此,x=xm),b=b),A-Am 代表线性方程组 1,2,·丌 对角线方阵以[d12…,d表之,其中d1,……,d。颇次是对角线上的元素 I(=m)表示n行列的单位方阵,[=0m表示mxn的零矩阵 A’表示由A经行列互换所得出的矩阵 和与积的定义和一些简单性质都不再重述.用 表示矩阵A中取第s1…s行及h1…,t列所做出的r行列的方阵的行列式 定理1命 iD,B (b) C=AB( 如果p≤n,则 I(cm)siis, I r<t<“≤ 71;F2·· 这和过所有的适合于r1<n<…<r的r,这r1,…,r是从1,2…,n中取来 的,如果p>n则行列式之值等于0 证明假定P≤由于 所以 n=141 Iciilistis
b 2 此和中有两个相等的项一定等于0,所以我们仅需讨论诸4…互不相等的诸项 由1,2,…,n中取一组适合于 的整数列,在5,…中有p项经过排列可以得这样的数列,所以 ci1≤ip 1 2,““印 这儿t…t过r1;…r的所有排列,由于 可知 Ci d r1<I<+<r 3725 ,rpn”p A p 即得所证 如P>n则和(1)中所有的项都有两个s相等,因此所有的项都是0,故得定理 附记1同法证明更一般的恒等式 此处r…sr仍然从1,2…,m中选取 附记2两个方阵A,B之积之行列式等于A与B的行列式之积 2.秩 如果A的r+1级子行列式都等于0而至少有一个r级子行列式0,则r称为A 的秩 定理1如果C-AB,而A,B,C的秩各记为rA,rBr则 nun(rd’"B 这定浬可由上节的结果推出 如果A是可逆方阵,则