sin-8 =1 N21>i>1 1 6, 证明第1,2,…,m列各乘以cos161…,cos士0,由于 (v-1)0) 所以原行列式等于 sin,, sin 82s 6 sinn4-sin(n-1)62,…sinn6。-sin(n-1)0 6 cos (cos 8;-cos, ). 定理5 61 2 , cos =2(-B) Ⅱ(cosa,-cosθ) 证明第1,2…〃列是各乘以 sin+8. 由于 sin--0 (sin(o +1),-sin vBi) 所以原行列式等于 sin 2B, -- sin Buz sin 8 6 sin 28,- sin e sinnB1-sin(n-1)0,,.. sin n8, -sin(n-1)0
2∏I妞n1 sIn #0,> -6n 6 s6) 习题1用某一次序来标列一个多边体的n个顶点,现在做以下的行列式,如果第i 个顶点和第j个顶点之中有一边相联,则取a;-a;=1.不然则取a;=0,特别有 证明这个行列式的数值与顶点排列的次序无关,并且算出四面体六面体,八面体 的行列式:例如四面体 0111 1101 提示把第讠点换为第j点则第i行与第j行,第讠列与第j列同时进行交换 答数六面体:9,八面体:0 习题2算出 习题3试证 L n+2 (p-2)(p+1√P)( ) 处 +1+1)(P+m 9.对称函数 把乘积 展开成为
03r 3 这几 C1=*? 叮2=x1#十x1x+··x1丌n十x2x十…十x:其n十·· +ntn 其中是所有的从x…,x,中取个乘积的总和这个表达式中有(2)项每项是; 个数的乘积 这些a1,…,on称为x1,…,xn的初等对称函数 定义如果把x,…,x重排成为x1;…,xn,函数 FC 4;) 如果所有的重排这关系式都成立,则函数F称为x1,…,x的对称函数 初等对称函数是对称函数,还另有一主要的对称函数是对称幂和,即 s;=x十 定义o-1,n.取出一项x;x…xm,用 ∑xx2…x 表示由该项经由可能的排列所得出的总和,例如: 注意这不同于 因为一个没有x项,而一个有 在(2)中代以x,得 x一σ1x十σx2一…十(-1)°σn-0,=1,2,…,群 把这看成为n个线性方程式,把一1,01,…,(-1)"n看成为未知数.用 Cramer公式 解得 一1 (4) 因此得出 定理1命 △(l1 1,,l+1,7 习题I证明△(n-1,n-2,……1,0)除得尽所有的△(l2,…,l),并且其商 是对称函数
习题2试算出 △(n (n+1,m,n-2 提示:先证明形式上有 △(n+1,n-2,…,1,0)-△(n-1,n-2,…,1,0)×(A∑x+B∑xx) 再定出A与B.我们现在研究 与 的关系由式(1)的对数微商可知 ,52·,S f(a) 十 f(*) f(r) 由于 可知 x) f(a)-f(r ∑(-1)a1∑ 【t-1 ∑(-1)x211 对i求和因此得出 f(r) x 另一方面,微分(2)式得 f(x)-∑(-1)-on-(xy-∑(-1)”'on-x2 比较系数得 (-1)v (-1)*(+1)o 把t换为n-x,则得 (1 (-1)-(n-r+1 =1,2,…,n-1,#
51十25 01m +(-1)on-(1)”(n一m)m 以σ=1,s=n代入,并移项可得 把s1,…m看成为未知数,解这线性方程组得 定理2( Newton) 1 2 mman Um-1 Um-2 再把a1,…cm看成为未知数解得: 定理3 s11 10 1100 S3 52 535z5 如果 则由 …+(-1)”n-0 乘以κ,再对i=1,2,,n相加,如此得出 十∷十(-1)σn 即:可由σ13…,σn,及sn-1,…,5m-n看出来,这是递归公式 §10.对称函数的基本定理 定理1任何一个对称函数(多项式)一定可以表为初等对称函数的函数 证明1)如果能够证明,它可以表为4,413…,5m…的函数,则由上节的结果知 道,它可以表为a;…σ的函数 2)由