特别在计算迥归分析时,松弛法更有价值,方法是 1)先任意地取一组 2)任意地算一个 a1一b 如果a≠0,把 n1;……,a-1’a+E,;日n 作为原出发点,如果αk=0,则要换一个k 3)一般的办法是k=1,2,n1,2,…n,…周而复始地进行计算这样便可 以得出所求的解答了 这方法之所以命名为松弛法的原因固在于此,另一点是如果算错了,不必从头算,依 错算下去,依然得出正确的结果来(即从错了的(a12…,a)再开始算下去,依然能得出 结果来的) 当然,并不是说常常错,而是说偶然算错了关系不大而已 虽然“松弛”但偶而略为紧张些可以帮我们更有效地解决问题,例如:比较一下 饣=1,2,, 谁大,取使这值最大的整数出发最有利,因为由(3)可知在F上减得多了,这方法一定可 以逐步逼近原解答的 §7.行列式 建议从51的关系引进行列式,也就是用数学归纳法来定义行列式,即行列式 a141+and12+ 此处A;是由原行列中划掉第i行,第j列所得出的n-1行的行列式的数值,再乘以 d称为a;的余因子 行列式的重要性质 (1)一行(列)同以乘之,则行列式的数值是原来的倍. (2)把一行(列)的h倍加到另一行(列)上,行列式的数值不变 )两行(列)互换,行列式变号,由此可知两行相等,行列式之值为0 解方程式的 Cramer法则 的解答是
x2有相似的表达式,但这个是把|中的第1列换为“b,而那个是把第列换为“b 齐次方程的基本定理 有非显见解的必要且充分条件是 简单推论1.如果n>m,方程组 1 一定有非显见解因为我们可以虚加上n一m个方程 其中=0,m+1≤i≤n,1≤≤n 简单推论2.如果n≤m,则方程组 1, (1) 有非显见解,一定是其中任意a个方程的行列式都等于0 比基本定理较一般些的结果是,如果任意n个方程式的行列式都等于0,则(1)有一 个非显见解 明1)由假定可知 把这式子展开得 d,+ 如果A1,…,A,不全等于0,则方程组(1)显然有解x=A1 2)如果经过重排方程的次序或重编x的号码,使 则由1)可知本定理正确 3)现在考虑2)没有包括进去的情况,考虑xn=0时的情况,现在有 in“1 展开得
a1B1+……十ain-1Bn-1=0 即取x=B12…,xn-1=Bn-1 0就是解 这样可以运用归纳法来证明本定理 现在来研究51中可提出的次方程组与非齐次方程组的关系。 首先:如果 有非显见解,则 也有非显见解 这是显然的,因为行换为列行列式的数值不变,命 i 并可假定l4≠0如此则由 x 可知 2M一5(-)-点( 5)x=0 显然b1=1,b2=…=b=0时,方程组(3)无解 如果(2)仅有显见解,则 1al≠0 由 Cramer公式可知方程(2)有解 注意 Cramer公式虽然漂亮但是真正解方程式时不常用它,因为其中运算的次数太 多了 58. Vandermonde行列式 定理1 △=△(x12x ∏(x;-郡) 证明1)用归纳法,n=2时,显然正确 2)在第2,3,…,”行中各减前一行的x倍如此得 x(、x“x
1) 用归纳法即得所求 附证当x=时△=0,因此x一x可除尽△,因此 ∏(x-x) >>P1 可除尽△,再比较xx…x2·1的系数可得本定理 这定理有以下的显然推广 定理Z命P(x)是第i次多项式,其x的系数是a.如此则 P(x1) P(x1),…,P(x) a·“·aa 这个结果的证明是容易的,首先,第一行全是a以a除这一行,得同为1的行的 行列式,命 P,(x) 在第二行中减去第一行的a1倍,再除以4,则第二行变为 命 P2(x) x+ air+ 在第三行中减去第一行的叫倍减去第二行的a倍,再除以吗,第三行变为 依此绕行,即得所求的公式了 定理3我们有 cos cos -=25(a-2(8-II (cos 0,-cos,) cos(n-1)02,…,cos(n-1)0n 及 en 26,…,sn26n|-2+dn…,Il(os-8. 证明由于 cos日十isin6)”〓cosn6+ i sin ne, 因此 2cosn6=(cosθ+isin6)°+(cos9-isin)
IGisin 8)+(i sin 0)]cos"l8 (-1)e (-1)(b(1-cos 0)cos"-140=P(cos O) 这儿P。是cos6的多项式其中cos"的系数等于 (-1)(-1) 1 以此代人原行列式,得 Po(cos 0) o cos 8) cos(a-1)0,.,cos(n-1)8.I Pm-(cos 61),. Pa-(cas 6,) 6) 6+isin) i sin 0)* >(Isin 0)'(isin 0))cos"16 (-1)sin+cos?-2-1 sinn6=sin日 2+1 这儿Qn-:(cos0)是cos6的n-1次多项式其cos-的系数为 2+1≤ 1 因此 sin64;∷;sin g 0(cos 8n) sin261,…in20,l=sin61…sin日 sin n8 0n-(cos 8n) 6,) Mi>i>I 定理4