2.6习题1332.6习题2-1已知序列x[k]=4S[k]+3[k-1]+28[k-2]+8[k-3]，试画出下列序列的波形。(1) x,[k]= x[(-k),]R,[k] ;(2) x,[k]= x[(k -2),]R,[k] ;(3) x,[k]= x[(3-k),]R,[K] 。解：x[K)=(4,3,2,1,0);x[(-k);]Rs[K] =(x[0], x[4], x[3], x[2], x[1])=(4, 0, 1, 2 ,3];x[(k-2),]R,[K]= (x[3], x[4], x[0], x[1], x[2])=(1, 0, 4, 3, 2];x[(3-k),]R,[]= (x[3], x[2], x[1],x[0], x[4])=(1, 2, 3, 4, 0]g[K]和h[K]是如下给定的有限序列2-2g[k]={5 24-1 2),h[k]=(-34 -1)(1)计算g[K]和h[k]的线性卷积[K]-g[K]+h[K];(2)计算g[k]和[K]的6点循环卷积yic[K]-g[K]?h[K];(3)计算g[k]和h[k]的7点循环卷积y2c[k]-g[k]③h[Kk];(4)计算g[K]和h[K]的8点循环卷积y3c[k]-g[k]③h[k]:(5）比较以上结果，有何结论？-991417-14-2)解： (1)yi[k]=(-15-99)1417-14(2) yic[k]-(-17-991417-14-2) (3) y2c[k]=(-15-9921417-1401(4) y3c[K)=(-15（5）序列的循环卷积与序列的线性卷积存在内在联系，在一定条件下，可以利用序列的循环卷积计算序列的线性卷积。2-3试证 N点序列x[k]的离散傅里叶变换X[m]满足Parseval恒等式[X[m]N-1 N-I[X[m] =-证明：Z X[m]X'[m]NON=O2x[mx[kjWmNL(k=0
2.6 习题 133 2.6 习 题 2-1 已知序列 x[k] = 4d[k] + 3d[k -1] + 2d[k - 2] + d[k - 3]，试画出下列序列的波形。 (1) [ ] [( ) ] [ ] 1 5 5 x k = x -k R k ； (2) [ ] [( 2) ] [ ] 2 5 5 x k = x k - R k ； (3) [ ] [(3 ) ] [ ] 3 5 5 x k = x - k R k 。 解： x[k]={4, 3, 2, 1,0}; x[(-k)5 ]R5 [k] ={x[0], x[4], x[3], x[2], x[1]}={4, 0, 1, 2 ,3}; x[(k-2)5 ]R5 [k] = {x[3], x[4], x[0], x[1], x[2]}={1, 0, 4, 3, 2}; x[(3-k)5 ]R5 [k] = {x[3], x[2], x[1], x[0], x[4]}={1, 2, 3, 4, 0} 2-2 g[k]和 h[k]是如下给定的有限序列 g[k]={5 2 4 -1 2}， h[k]={-3 4 -1 } (1) 计算 g[k]和 h[k]的线性卷积 yL [k]=g[k]*h[k]； (2) 计算 g[k]和 h[k]的 6 点循环卷积 y1C[k]=g[k]Ä h[k]； (3) 计算 g[k]和 h[k]的 7 点循环卷积 y2C[k]=g[k]Ä h[k]； (4) 计算 g[k]和 h[k]的 8 点循环卷积 y3C[k]=g[k]Ä h[k]； (5) 比较以上结果，有何结论？ 解：(1) yL [k]={ -15 14 -9 17 -14 9 -2} (2) y1C[k]={-17 14 -9 17 -14 9} (3) y2C[k]={-15 14 -9 17 -14 9 -2} (4) y3C[k]={-15 14 -9 17 -14 9 -2 0} (5) 序列的循环卷积与序列的线性卷积存在内在联系，在一定条件下，可以利用序列的 循环卷积计算序列的线性卷积。 2-3 试证 N 点序列 x[k]的离散傅里叶变换 X[m]满足 Parseval 恒等式 2 1 0 1 0 2 [ ] 1 [ ] X m N x k N m N k å å - = - = = 证明: [ ] [ ] 1 [ ] 1 1 0 2 1 0 X m X m N X m N N m N m * - = - = å = å * - = - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = å å mk N N k N m X m x k W N [ ] [ ] 1 1 0 1 0
134第3章离散傅里叶变换快速算法NSI1Zx[]-X[mJW-mkNmOk=0N-1N-Z x [k]x[k]=Z x[k]k=0k=02-4Xm]表示2M点序列x[K]的DFT，当x[k]=-x[k+M，试证X|2r=0，=0,1,M-1。证明：现将x[K]按k的自然顺序分成前后两部分，即M-I2 M12M-1x[kjW=X[m]= DFT(x[k]} =x[kjW2m+x[kJWm>>=0=0k=MW(x[k]+Wm* x[k+ M) Wmk:由于WmM=e-mp=(-1)"，上式可写成WX[m]=(x[k]+(-1)"x[k +M])Wm当m为偶数时，（-1)"=1：当m为奇数时，（-1)"=-1。因此，根据m为偶数或奇数将频域序列Xml分成偶数组和奇数组。用X[2rl表示偶数组，X[2r+11表示奇数组，则有X[2m-2(x[K]+x[k+M])W2,r=0,1,.,M-1K=0M-17X[2r+1]=(x[k]--[k+M)wawWm, r= 0,].., M-1k=0由于x[k]=-x[k+M]，故有X[2r]=0，=0,1,*,M-1，证毕。2-5g[K]和h[K]是6点的有限序列，G[m]和Hm]分别表示它们的DFT(1)如果G[m)=(1+i，-2.1+j3.2，-1.2-j2.4，0,0.9+j3.1，-0.3+i1.17，若存在h[K]=g[(k-4),]R.[K],试由 G[m]确定 H[m]。(2)如果g[k]=(4.1，3.5,1.2,5,，2，3.3)，且存在H[m]=G[(m-3)]Rs[m],试由g[K]确定h[K]。解：由DFT的时域循环位移性质可得(1) H[m]=DFT(g[(k-4)。JR.[k]) =W4"G[m]=(1+j,-1.7213- 3.4187j,-1.4785 + 2.2392j, 0,-3.1347- 0.7706j,1.1026 -0.2902j)(2）由DFT的频域循环位移性质可得h[k]=g[kjW-3k =(-1)*g[k] = (4.1, -3.5, 1.2, -5, 2, -3.3]2-6设x[k]是一10点的有限序列[k)=(2110320346)不计算DFT，试确定下列表达式的值，并用MATLAB，通过计算DFT验证
134 第 3 章 离散傅里叶变换快速算法 mk N N m N k X m W N x k - - = * - = = å å [ ] 1 [ ] 1 0 1 0 2 1 0 1 0 x [k]x[k] x[k] N k N k å å - = * - = = = 2-4 X[m]表示 2M 点序列 x[k]的 DFT，当 x[k]= -x[k+M]，试证 X[2r]=0，r=0,1,. ,M-1。 证明： 现将 x[k]按 k 的自然顺序分成前后两部分，即 2 1 2 0 [ ] DFT{ [ ]} [ ] M km M k X m x k xkW - = = = å 1 2 1 2 2 0 [ ] [ ] M M mk mk M M k k M x k W xkW - - = = = + å å ( ) 1 2 2 0 [ ] [ ] M mM mk M M k x k W x kMW - = = å + + 由于 j p 2 ( 1) mM m m W e M - = = - ，上式可写成 ( ) 1 2 0 [ ] [ ] ( 1) [ ] M m mk M k X m x k x kMW - = = å + - + 当 m 为偶数时，(-1) = 1 m ；当 m 为奇数时，(-1) = -1 m 。因此，根据 m 为偶数或奇数将频 域序列 X[m]分成偶数组和奇数组。用 X[2r]表示偶数组，X[2r+1] 表示奇数组，则有 ( ) 1 2 2 0 [2 ] [ ] [ ] , 0,1, , 1 M rk M k X r x k x k M WrM - = = å + + = - L ( ) 1 2 2 2 0 [2 1] [ ] [ ] , 0,1 , 1 M k rk M M k X r x k x k M W W r M - = + = å - + ×=- L 由于 x[k]= -x[k+M]，故有 X[2r]=0，r=0,1, . , M-1，证毕。 2-5 g[k]和 h[k]是 6 点的有限序列，G[m]和 H[m]分别表示它们的 DFT (1) 如果 G[m]={1+j, -2.1+j3.2, -1.2-j2.4, 0, 0.9+j3.1, -0.3+j1.1}, 若存在 h[k]=g[(k-4)6 ]R6 [k], 试由 G[m]确定 H[m]。 (2) 如果 g[k]={4.1, 3.5, 1.2, 5, 2, 3.3}, 且存在 H[m]=G[(m-3)6 ]R6 [m], 试由 g[k]确定 h[k]。 解：由 DFT 的时域循环位移性质可得 (1) 4 6 6 6 [ ] DFT{ [( 4) ] [ ]} [ ] m H m =-= g k R k W G m ={1+j, -1.7213- 3.4187j, -1.4785 + 2.2392j, 0, -3.1347 - 0.7706j, 1.1026 - 0.2902j} (2) 由 DFT 的频域循环位移性质可得 = = - = - [ ] [ ] ( 1) [ ] 3 6 h k g k W g k k k {4.1, -3.5, 1.2, -5, 2, -3.3} 2-6 设 x[k]是一 10 点的有限序列 x[k]={2 1 1 0 3 2 0 3 4 6} 不计算 DFT，试确定下列表达式的值，并用 MATLAB, 通过计算 DFT 验证
2.6习题135ae-(4m/1) [m) (5) ≥ [X[m]7(3)X[m) (4)(1) x[0], (2) X[5] M=0m=0-解： (1) 101=Zx[k]=22k=099x[kjw*=7(2) X[5] =Z :(-1)* x[k]= -2k=0k=0W(3)X[m]= 10x[0|=20m=0(4) e-i(4pm/5) X[m] = W,tm X[m] → x[(k - 4)o]R.[K]We-i(4pm/5) X[m]= 10 x[6]=09>[[m]=10 []”=800(5)mz0k=02-7Xm]表示12点实序列x[K]的DFT。Xm]前7个点的值为XT0=10,XT1]=-5-j4,XI2]=3-j2.X[3]=1+j3X[4]=2+j5, X[5]=6-j2,X[6]=12不计算IDFT，试确定下列表达式的值，并用MATLAB验证你的结论。艺(4)11eK2p/3)x[K] (5) [k](1)x[0], (2)x[6](3)22K=01-0解：X=[10, -5-j4, 3-j2,6-j2,12,6+2j,2-5j1+j3,2+j5,1-3j.3+2i-5+4i].111TX[m]=3(1)x[0] =1220A=W11 X[mJWam(2) x[6] =(-1)"X|m|=7/3N120120=W(3)x[K] = X[0] = 10k=0e(2p:/3) x[k] =Z w*x[k](4)= X *[4]=2- j5k=0k=011[X[m=85/2x[k] = N(5)12=0(2k)x[K]的N点DFT。2-8已知x[k]的N点DFT为Xm]，试求y[k]=cos(N
2.6 习题 135 (1) X[0], (2) X[5] (3) [ ] 9 0 X m m å= (4) [ ] (4 / 5) 9 0 e X m j m m - p = å (5) 2 9 0 X[m] m å= 解：(1) [0] [ ] 9 0 X x k k å= = =22 (2) k k X x k W 5 10 9 0 [5] å [ ] = = ( 1) [ ] 9 0 x k k k = å - = = -2 (3) [ ] 10 [0] 9 0 X m x m å = = =20 (4) j(4p / 5) e [ ] m X m - = [ ] 4 W10 X m m ® [( 4) ] [ ] 10 10 x k - R k 9 j(4p / 5) 0 [ ] 10 [6] 0 m m e X m x - = å = × = (5) 2 9 0 X[m] m å= 2 9 0 10 x[k] k å= = =800 2-7 X[m]表示 12 点实序列 x[k]的 DFT。X[m]前 7 个点的值为 X[0]=10, X[1]=-5-j4, X[2]=3-j2, X[3]=1+j3 X[4]=2+j5, X[5]=6-j2, X[6]=12 不计算 IDFT，试确定下列表达式的值，并用 MATLAB 验证你的结论。 (1) x[0], (2) x[6] (3) [ ] 11 0 x k k å= (4) 11 j(2p / 3) 0 [ ] k k e x k = å (5) 2 11 0 x[k] k å= 解： X=[10, -5-j4, 3-j2, 1+j3, 2+j5, 6-j2, 12, 6+2j, 2-5j 1-3j, 3+2j -5+4j] (1) [ ] 12 1 [0] 11 0 x X m k å= = =3 (2) m k x X m W 6 12 11 0 [ ] 12 1 [6] å= = ( 1) [ ] 12 1 11 0 X m m k = å - = = 7/3 (3) [ ] [0] 10 11 0 å = = = x k X k (4) 11 11 j(2p / 3) 4 12 0 0 e [ ] [ ] *[4] k k k k x k W x k X * = = æ ö = = = ç ÷ è ø å å 2- j5 (5) [ ] 85/ 2 12 1 [ ] 2 11 0 2 11 0 å = å = = = x k X m k m 2-8 已知 x[k]的 N 点 DFT 为 X[m]，试求 ) [ ] 2p [ ] cos( lk x k N y k = 的 N 点 DFT
136第3章离散傅里叶变换快速算法Pk12P12P 1k)x[k] =解：y[k]=cos(-x[klex+=x[k]eN2n根据DFT的频域循环位移特性，可得y[K]的N点DFT为Y[m)= DFT([K]),=→x[(m-1) ]+X[(m+1)]2n2-9已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1，X[2]=2.5+j4.6,X[4]=-1.7+j5.2,X[6]=9.3+j6.3,X[8]=5.5-j8.0。确定DFT在奇数点的值。解：根据实序列DFT的对称特性Xm=X[N-m]，可得X[1]=X*[9-1]=X*[8]=5.5+j8.0,X[3]=X*[9-3]=X*[6]=9.3-j6.3X[5]=X*[9-5]=X*[4]=-1.7-j5.2;X[7]=X*[9-7]=X*[2]=2.5-j4.62-10已知一9点实序列在5个点上的DFT值为X[0]=23，X[1]=2.2426-j，X[4]=-6.374+j4.1212,X[6]=6.5+j2.589,XI7)=-4.1527-j0.2645，试确定其他4个点的DFT值。解：根据实序列DFT的对称特性X[m]=X[N-m]，可得X[2]=X*[9-2]=X*[7]=-4.1527+j0.2645;X[3]=X*[9-3]=X*[6]=6.5-j2.589;X[5]=X*[9-5]=X*[4]=-6.374-j4.1212;X[8]=X*[9-8]=X*[1]=2.2426+j2-11 已知一7 点序列为 x[0]=5,x[1]=3,x[2]=-2,x[3]=-4,x[4]=1,x[5]=2,x[6]-0 。Y[m]=W4mX[m]。不计算IDFT,，试确定序列>[K]。解：由DFT时域循环位移动特性有[k]=x[(k-4),]R,[K]={-4, 1, 2, 0, 5, 3, -2)2-12x[K]=(1-12300)]，X[m]是其DFT。G[m]=W3mX[m]，不计算IDFT，试确定6点序列g[K]。解：由DFT时域循环位移动特性有g[k]=x[(k-3),]R[k]=(0, 0, 3, 1, -1, 2]2-13已知x[K是一N点的有限序列，试求()[K)}-DFT(DFT(x[K]))(2)g[K)=DFT(DFT(DFT(DFT(x[K])))解：(1)[K)-DFT(DFT(x[K]))=DFT(X[m])
136 第 3 章 离散傅里叶变换快速算法 解： lk N lk N lk x k x k e x k e N y k 2p -j 2p j [ ] 2 1 [ ] 2 1 ) [ ] 2p [ ] = cos( = + 根据 DFT 的频域循环位移特性，可得 y[k]的 N 点 DFT 为 [( ) ] 2 1 [( ) ] 2 1 [ ] DFT{ [ ]} N N Y m = y k = X m - l + X m + l 2-9 已知一 9 点实序列的 DFT 在偶数点的值为 X[0]=3.1, X[2]=2.5+j4.6, X[4]=-1.7+j5.2, X[6]=9.3+j6.3, X[8]=5.5-j8.0。确定 DFT 在奇数点的值。 解：根据实序列 DFT 的对称特性 X[m]=X * [N-m]，可得 X[1]=X*[9-1]= X*[8]= 5.5+j8.0; X[3]=X*[9-3]= X*[6]= 9.3-j6.3 X[5]=X*[9-5]= X*[4]= -1.7-j5.2; X[7]=X*[9-7]= X*[2]= 2.5-j4.6; 2-10 已知一 9 点实序列在 5 个点上的 DFT 值为 X[0]=23, X[1]=2.2426-j, X[4]= -6.374+j4.1212, X[6]=6.5+j2.589, X[7]= -4.1527-j0.2645，试确定其他 4 个点的 DFT 值。 解：根据实序列 DFT 的对称特性 X[m]=X * [N-m]，可得 X[2]=X*[9-2]= X*[7]= -4.1527+j0.2645; X[3]=X*[9-3]= X*[6]= 6.5-j2.589； X[5]=X*[9-5]= X*[4]= -6.374-j4.1212; X[8]=X*[9-8]= X*[1]= 2.2426+j 2-11 已知一 7 点序列为 x[0]=5, x[1]=3, x[2]= -2, x[3]=-4, x[4]=1, x[5]=2, x[6]=0 。 [ ] [ ] 4 Y m W7 X m m = 。不计算 IDFT，试确定序列 y[k]。 解：由 DFT 时域循环位移动特性有 [ ] [( 4) ] [ ] 7 7 y k = x k - R k ={-4，1，2，0，5，3，-2} 2-12 x[k]={1 -1 2 3 0 0}，X[m]是其 DFT。 3 6 [ ] [ ] m G m = W X m ，不计算 IDFT，试确定 6 点序 列 g[k]。 解：由 DFT 时域循环位移动特性有 6 6 g[k] = - x[(k 3) ]R k[ ] ={0，0，3，1，-1，2} 2-13 已知 x[k]是一 N 点的有限序列，试求 (1) y[k]=DFT{DFT{x[k]}} (2) g[k]=DFT{DFT{DFT{DFT{x[k]}}}} 解：(1) y[k]=DFT{DFT{x[k]}} =DFT{ X[m]}
2.6习题13720X[m]em=0由于当x[K]的DFT为X[m]时，则x[N-k]的DFT为X[m]，即存在2Pmk1x[N-k]=XmleNm=0两边取共轭后可得20mk1 !x[N-k]=X[m]e7公m=0故[K]-Nx[N-K](2)g[K)-DFT(DFT(DFT(DFT(x[K))3)=DFT(DFT(N x[N-K))=N2 x[K]2-14x[K]和h[K]是在0≤k≤29范围内有定义的30点序列，并且h[k]=0,0≤k≤920 ≤k≤29.x[K] 和 h[K]的30 点循环卷积记为g[k],线性卷积记为y[K]。试确定在哪些点上有[K]=g[K]。解：h[n]1n0101929h[(-n)3o |= h[30 - n]n1120029h[(19- n)30] = h[19-n]L-n0929由图可知y[30]=g[0],y[31]=g[1],.....y[39]=g[9]y[19]=g[19],y[20]=g[20],....,y[29]=g[29]2-15（1）若N点序列x[kl,0≤k≤N-1，其N点DFT为Xm]。现构造一LxN点序列[x[k/ L], k = 0,L,.--(N -1)L[k] =其它0L是一正整数，试用Xm]表示y[K的LxN点DFT
2.6 习题 137 1 2p j 0 [ ] N mk N m Xme - - = = å 由于当 x[k]的 DFT 为 X[m]时，则 x * [N-k] 的 DFT 为 X * [m]，即存在 1 2p j * * 0 1 [ ] [ ] N mk N m x N k X m e N - = - = å 两边取共轭后可得 1 2p -j 0 1 [ ] [ ] N mk N m x N k X m e N - = - = å 故 y[k]=N x[N-k] (2) g[k]=DFT{DFT{DFT{DFT{x[k]}}}} = DFT{DFT{N x[N-k]}} =N 2 x[k] 2-14 x[k]和 h[k]是在 0 £ k £ 29 范围内有定义的 30 点序列，并且 h[k]=0, 0 £ k £ 9 , 20 £ k £ 29 . x[k] 和 h[k]的 30 点循环卷积记为 g[k], 线性卷积记为 y[k]。试确定在哪些点上 有 y[k]=g[k]。 解： 0 10 19 29 n h[n] 0 11 20 29 n [( ) ] [30 ] 30 h -n = h - n 0 9 29 n [(19 ) ] [19 ] 30 h - n = h - n 由图可知： y[30]=g[0], y[31]=g[1], . . y[39]=g[9] y[19]=g[19], y[20]=g[20], ,. . ,y[29]=g[29] 2-15 (1) 若 N 点序列 x[k], 0 £ k £ N -1，其 N 点 DFT 为 X[m]。现构造一 L´N 点序列 î í ì = - = 0, 其它 [ / ], 0, , ( 1) , [ ] x k L k L N L y k L L 是一正整数，试用 X[m]表示 y[k]的 L´N 点 DFT