4.5MATLAB实现滤波器设计14.6习题4-1.若Butterworth滤波器的阶数由式(4-24)确定，试证明按式(4-27)确定o.的Butterworth滤波器在通带和阻带均满足技术指标。证：记p00≤03≤0Oel02(10014, -1)/2N(100.14, 1)/2NA(0;0)=101gH(j0) =101g(1+(0 /0.)2N)由上式可知，A(の;0)是关于变量/o.的单调递增函数。由课文中的推导过程可知，A(の;0)满足A(0p,0e)=Ap,A(0,0)≥As,A(0p,0)<ApA(0s,02)=As由于≤，所以0/0≤0/0el由A(;0）的单调递增特性及A(p;0el)=A,可得A(0p,0)<A,由于≤02，所以0/ 02≤ 0/ 0e3由A(0;0）的单调递增特性及A(00)=A,可得A(0,0)≥A,4-2.试利用Butterworth滤波器，设计一个满足下列条件的模拟低通滤波器。0.8≤|H(j)/≤10≤0≤5[H(jo)| ≤0.1≥10解：由题所给条件得11+(5/0, = 0.64 —→(5/0. ) * = 0.562511(10/0, ) = 0.01 —→(10/0, )* = 99N≥I(99/0.562)=3.7,取 N421g2将N=4代入由通带方程得，Q。=5/(0.5625)1/8=5.3728将N=4代入由阻带方程得，①=10/(99)/8=5.6305
4.5 MATLAB 实现滤波器设计 1 4.6 习题 4-1. 若 Butterworth 滤波器的阶数由式(4-24)确定，试证明按式(4-27)确定wc的 Butterworth 滤波器在通带和阻带均满足技术指标。 证: 记 0.1 A 1/ 2 N p c1 (10 1) p - = w w , A N s 0.1 s 1/ 2 c2 (10 -1) = w w ,wc1 £wc3 £wc2 ( ) N A H 2 c 2 c (w;w ) =10lg (jw) =10lg 1+ (w /w ) 由上式可知，A(w ;wc )是关于变量w /wc的单调递增函数。由课文中的推导过程可知，A(w ;wc ) 满足 A(wp ;wc1)=Ap，A(ws ;wc1)³ As，A(wp ;wc2)£Ap，A(ws ;wc2)= As 由于wc1£ wc3，所以 wp / wc3£ wp / wc1 由 A(w ;wc ) 的单调递增特性及 A(wp ;wc1)=Ap可得 A(wp ;wc3)£Ap 由于wc3£ wc2，所以 ws / wc2£ ws / wc3 由 A(w ;wc ) 的单调递增特性及 A(ws ;wc2)=As可得 A(ws ;wc3)³As 4-2. 试利用 Butterworth 滤波器，设计一个满足下列条件的模拟低通滤波器。 0.8 £ H(jw) £ 1 0 £ w £ 5 H(jw) £ 0.1 w ³ 10 解： 由题所给条件得 0.64 1 (5/ ) 1 2 = + N wc (5/ ) 0.5625 2 ¾® = N wc 0.01 1 (10 / ) 1 2 = + N wc (10 / ) 99 2 ¾® = N wc 3.7 2lg 2 lg(99 / 0.5625) N ³ = , 取 N=4; 将 N=4 代入由通带方程得， 5/(0.5625) 5.3728 1/ 8 wc = = 将 N=4 代入由阻带方程得， 10 /(99) 5.6305 1/ 8 wc = =
H(s) =((s/@)2+0.7654(s/@)+1)(s/@)2+1.8478(s/o)+1)由0=5.3728得出的系统为833.3025H(s) =(s2+4.1123s + 28.867)(s2 + 9.9279s+28.867)由@。=5.6305得出的系统为1005.1H(s)=(s2 + 4.3096s + 31.7025)(s +10.404s +31.7025)4-3.试用ChebyshevI型滤波器，重做题4-2。解：由题所给条件得1 /1/0.01-1)arccosh(c0。=5,=V1/0.82-1=0.75N~2.5arccosh(10/5)取 N=3; β= sinh"(/e) =0.3662,N元元, =-sinh(β)sin -=-0.1872, O, =-cosh(β)cos--0.92742N2N(o, +0))sinh(β)H(s) =(s/5)+sinh(β) ~ (s/5)2-2o,(s/5)+(α +0)41.666741.6667(s +1.8722)(s2 +1.8722s +22.2552)s3+3.7444s2+25.7604s+41.66674-4.已知H(s)为CBI型低通滤波器，且N=3,0=3,0=10,8=0.01该滤波器在阻带正好满足指标。试确定用实系数有理多项式表示的H(s)。解：(1)由通带截频の,确定の0,=0,=3(2)由阻带波动确定s由-821+"cosha(N arccosh(o, /o,))得
(( / ) 0.7654( / ) 1)(( / ) 1.8478( / ) 1) 1 ( ) 2 2 + + + + = c c c c s s s s H s w w w w 由 = 5.3728 wc 得出的系统为 ( 4.1123 28.867)( 9.9279 28.867) 833.3025 ( ) 2 2 + + + + = s s s s H s 由 = 5.6305 wc 得出的系统为 ( 4.3096 31.7025)( 10.404 31.7025) 1005.1 ( ) 2 2 + + + + = s s s s H s 4-3. 试用 Chebyshev I 型滤波器，重做题4-2。 解： 由题所给条件得 = 5 wc , 1/ 0.8 1 0.75 2 e = - = , 2.5 arccosh(10 / 5) 1/ 0.01 1) 1 arccosh( » - = e N , 取 N=3; 0.3662 sinh (1/ ) 1 = = - N e b , 0.1872 2 sinh( )sin 1 = - = - N p s b , 0.9274 2 cosh( ) cos 1 = - = - N p w b ( / 5) 2 ( / 5) ( ) ( ) ( / 5) sinh( ) sinh( ) ( ) 2 2 2 2 2 k k k k k s s s H s s s w s w b b - + + + ´ + = ( 1.8722)( 1.8722 22.2552) 41.6667 2 + + + = s s s 3.7444 25.7604 41.6667 41.6667 3 2 + + + = s s s 4-4. 已知 H(s)为 CB I 型低通滤波器，且 N=3，wp=3，ws=10，ds=0.01 该滤波器在阻带正好满足指标。试确定用实系数有理多项式表示的 H(s)。 解： (1)由通带截频wp确定wc wc =wp=3 (2)由阻带波动确定e 由 2 s p 2 2 1 cosh ( arccosh( / )) 1 s N d e w w = + 得
4.5MATLAB实现滤波器设计3/1/82-1=0.72386cosh(Narccosh(, /o,)(3)(o° +0)o sinh(β)H(s)=s+0 sinh(β)s?-20,0.s+0.(o) +0,)(2k -1)p@, =-cosh(B)cos(2k-1)Parcsinh(1/)B=o,=-sinh(β)sinN2N2N9.3255H(s)=s3+2.3078s2+9.4131s+9.32558=0.8101,8=0.01,4-5.已知二阶CBIⅡI型低通滤波器的参数ε=0.1，且HG1)=0。试求用实系数有理多项式表示的 H(s)。gC,(o. /0)解：由H(jo)"=C,(x)=2x2-1,得：0,=1//21+°c2(0 /0), β=arcsinh(1/e)S, =0, + jo, 0, =-sinh(β)sin ",, 0, =-cosh(β)cos",N1p, =1/ s,=0.2993 +j0.3308, =, = j/cos(p/4)=+ j 1.4142( /(s?+)0.0995(s2+1)H(s)=(s2-2@.Relp,/s+@2/p/)s2+0.4233s+0.09954-6.试利用Butterworth滤波器设计一个通带3dB截频の=5rad/s的三阶模拟高通滤波器。解：变换Hp(s)= Hμp(3) =1/ s要求的低通滤波器的3dB截频为可=1/o=1/53dB截频为の，=1/5的3阶巴特沃思滤波器为1Hμ(s) =(5s + 1)(25s2 + 5s +1)高通滤波器为s3Hp(s) =(s+5)(s2 +5s+25)
4.5 MATLAB 实现滤波器设计 3 cosh( arccosh( / )) 1/ 1 s p 2 s w w d e N - = =0.7238 (3) 2 ( ) ( ) sinh( ) sinh( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 c c 2 2 1 2 1 c 3 c s w w s w s w w b w b - + + + ´ + = s s s H s N k k 2 (2 1)p sinh( )sin - s = - b , N k k 2 (2 1)p cosh( ) cos - w = - b , N arcsin h(1/ e ) b = 2.3078 9.4131 9.3255 9.3255 ( ) 3 2 + + + = s s s H s ds=0.8101, ds=0.01, 4-5. 已知二阶 CB II 型低通滤波器的参数e=0.1，且 H(j1)=0。试求用实系数有理多项式 表示的 H(s)。 解：由 1 ( / ) ( / ) (j ) c 2 2 2 c 2 2 2 2 e w w e w w w C C H + = , ( ) 2 1 2 C2 x = x - , 得: =1/ 2 wc 1 1 1 s = s + jw , 4 sinh( )sin 1 p s = - b , 4 cosh( ) cos 1 p w = - b , N arcsin h(1/ e ) b = 1 1 p =1/s = -0.2993 + j0.3308, j/ cos(p/4) z1 = = + j 1.4142 ( 2 Re{ } ) ( )( ) ( ) 2 2 c c 2 2 2 c 2 2 2 k k k k k s p s p p z s z H s w w w - + + = 0.4233 0.0995 0.0995( 1) 2 2 + + + = s s s 4-6. 试利用 Butterworth 滤波器设计一个通带 3dB 截频wp = 5 rad/s 的三阶模拟高通滤波 器。 解：变换 H s H s s s HP LP ( ) = ( ) = 1/ 要求的低通滤波器的 3dB 截频为 = 1/ = 1/ 5 wp wp 3dB 截频为 = 1/ 5 w p 的 3 阶巴特沃思滤波器为 (5 1)(25 5 1) 1 ( ) 2 + + + = s s s H s LP 高通滤波器为 ( 5)( 5 25) ( ) 2 3 + + + = s s s s H s HP
直接计算幅度响应的模方，证明4-7.BsHep(s) =$?+Bs+0是一个中心频率为の(Hβ(jo。)=1)，通带3dB带宽为B的带通滤波器。B"o?解：[H p(jo)" =(0*-0)+B?由上式知HBp(jo)≤1。在の)=±の。时HBp(jo)达到最大值1。所以HBp(jo.)=1。由HBp(jo)=1/2得(0 -0)) = B'0?0-Bo-0. =0当>0,00时B?B1所以02=号++0,0>0,0<0。时0?+B0-0?=0B3B +0Opl2V4所以A3=2-p1=B4-8.直接计算幅度响应的模方，证明s? +0?Hgs(s)=$?+Bs+0?是一个中心频率为の。（Hs（jの。)=0)，阻带3dB带宽为B的带阻滤波器。(02 -03)2解：[H es(jo) = (0* -0,) + B*0?由上式知0≤Hsjo)≤1。在の=±。时Hsjo)达到最小值0。由Hs(jo)=1/2得(0? -0) = B"02当の>0,0>0时02-Bo-0, =0B2B 所以+00p2=420>0,0 <0.时0?+B0-0,=0
4-7. 直接计算幅度响应的模方，证明 2 0 BP 2 ( ) + +w = s Bs Bs H s 是一个中心频率为w0 ( (j ) 1 HBP w0 = )，通带 3dB 带宽为 B 的带通滤波器。 解： 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ( ) ( ) w w w w w B B H j BP - + = 由上式知 ( ) 1 2 HBP jw £ 。 在 w = ±w0 时 2 H ( jw) BP 达到最大值 1 。 所 以 ( ) 1 HBP jw0 = 。 由 ( ) 1/ 2 2 HBP jw = 得 2 2 2 2 0 2 (w -w ) = B w 当 0 w > 0,w > w 时 0 2 0 2 w - Bw -w = 所以 2 0 2 2 2 4 w = + +w B B p 0 w > 0,w < w 时 0 2 0 2 w + Bw -w = 2 0 2 1 2 4 w = - + +w B B p 所以 Dw3dB =wp 2 -wp1 = B 4-8. 直接计算幅度响应的模方，证明 2 0 2 2 0 2 BS ( ) w w + + + = s Bs s H s 是一个中心频率为w0 ( (j ) 0 HBS w0 = )，阻带 3dB 带宽为 B 的带阻滤波器。 解： 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) w w w w w w B H j BS - + - = 由上式知0 ( ) 1 2 £ HBS jw £ 。在w = ±w0 时 2 H ( jw) BS 达到最小值 0。 由 ( ) 1/ 2 2 HBS jw = 得 2 2 2 2 0 2 (w -w ) = B w 当 0 w > 0,w > w 时 0 2 0 2 w - Bw -w = 所以 2 0 2 2 2 4 w = + +w B B p 0 w > 0,w < w 时 0 2 0 2 w + Bw -w =
4.5MATLAB实现滤波器设计5B2B+0?OpI=2V4所以A03=0p2-0=B4-9.已知一模拟低通滤波器的技术指标为：f=2.1kHz,f=8kHz,A,=0.5dB,A,=30dB试分别确定用Butterworth滤波器和CBI型滤波器实现该指标所需的阶数。解：(1)Butterworth滤波器由式(4-24)可得100.14,Ig(100.14N≥~3.3721g(0./0,)取Ngw=4。(2)CBI型滤波器由式(4-38)得= /100-14, -1=0.3493由式(4-39)得arccosh(- /10014 -1)8N≥=2.58arccosh(o,/o,)取NcB=3。4-10.利用二阶归一化Butterworth低通滤波器，设计一个中心频率为の。=20rad/s，通带3dB带宽为B=4rad/s的模拟带通滤波器。解：(1)变换中的参数为B=4，の。=20(2）2阶归一巴特沃思低通滤波器为1Hto(s)=s2 + /2s+1B"s?s?+0.(3) Hμp(s) = Hr(3)s :Bs(s? +0.)* + ~/2Bs(s? +0)+(Bs)B°s?s*+V2Bs+(20+B2)s2+/2B0s+0
4.5 MATLAB 实现滤波器设计 5 2 0 2 1 2 4 w = - + +w B B p 所以 Dw3dB =wp 2 -wp1 = B 4-9. 已知一模拟低通滤波器的技术指标为： fp=2.1 kHz，fs=8 kHz, Ap=0.5 dB, As=30 dB 试分别确定用 Butterworth 滤波器和 CB I 型滤波器实现该指标所需的阶数。 解： (1) Butterworth 滤波器 由式(4-24)可得 3.37 2lg( / ) ) 10 1 10 1 lg( p s 0.1 0.1 s p » - - ³ w w A A N 取NBW=4。 (2) CB I型滤波器 由式(4-38)得 10 1 p 0.1 = - A e =0.3493 由式(4-39)得 2.58 arccosh( / ) 10 1) 1 arccosh( s p 0.1 s » - ³ w w e A N 取NCB=3。 4-10. 利用二阶归一化 Butterworth 低通滤波器，设计一个中心频率为 20 w0 = rad/s，通带 3dB 带宽为 B=4 rad/s 的模拟带通滤波器。 解： (1)变换中的参数为 B = 4， 20 w0 = (2) 2 阶归一巴特沃思低通滤波器为 2 1 1 ( ) 2 0 + + = s s H s L (3) Bs s H s H s s BP L 2 0 2 0 ( ) ( ) +w = = 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 (s ) 2Bs(s ) (Bs) B s + + + + = w w 4 0 2 0 2 2 2 0 4 3 2 2 + 2 + (2w + ) + 2 w +w = s Bs B s B s B s