《数字信号处理》课程教学资源（习题解答）ch6 功率谱估计

第6章习题解答6-1.已知某随机信号的观测序列为x[k]=sin(2.k+の)，式中e为一均匀分布的随机变量，其概率密度函数为[.2[0] ≤ 元p(0)=其它0试计算该随机信号的均值和自相关函数。解：由随机信号均值的定义可得E(x[k])=E(sin(20k + 0) = [" sin(20k +0)_d0 =02元由随机信号自相关函数的定义可得R,[k,2]=E(sin(20 +0)sin(20k +0)=sin(20k +0)sin(20k +0)d2元cos[2(k2-k,)]2设xk=A+xk]，式中A=E(k，且E(xk=0，试证：6-2.R,[n]= A’ + R,[n] 。证明：根据自相关函数的定义，可得R,[n]=E(x[k]x[k +n]) =E((A+x[k])(A+x[k+nD))=E(A?)+E([k])+E([k+n])+E([k][k+n])由于E(α[k])=0，故可得R,[n] = A? + R,[n]6-3.已知某随机序列的功率谱P(2)=1+cosQ，试求其自相关函数和平均功率P。解：118Wajn-jQR,[nje-in因为P(2)=1+cosQ =122R~0

第 6 章 习题解答 6-1. 已知某随机信号的观测序列为 [ ] sin( ) x k = Ω0 k +θ ，式中θ为一均匀分布的随机变量， 其概率密度函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ = 0 其它 2 1 ( ) θ π p θ π 试计算该随机信号的均值和自相关函数。 解：由随机信号均值的定义可得 { [ ]} {sin( )} E x k = E Ω 0 k + θ Ω θ dθ 2π 1 sin( ) 0 π π = + ∫− k =0 由随机信号自相关函数的定义可得 [ , ] {sin( )sin( )} Rx k1 k 2 = E Ω 0 k1 + θ Ω 0 k 2 + θ Ω θ Ω θ dθ 2π 1 sin( )sin( ) 0 1 0 2 π π = + + ∫− k k cos[ ( )] 2 1 0 2 1 = Ω k − k 6-2. 设 x[k] A x[k]，式中 ∧ = + A = E{x[k]}，且 { [ ]} = 0 ，试证： ∧ E x k Rx [n] = A2 + Rxˆ [n] 。 证明： 根据自相关函数的定义，可得 R [n] E{x[k]x[k n]} x = + = E{(A + xˆ[k])(A + xˆ[k + n])} { } {ˆ[ ]} {ˆ[ ]} {ˆ[ ]ˆ[ ]} 2 = E A + E x k + E x k + n + E x k x k + n 由于 { [ ]} = 0 ，故可得 ∧ E x k [ ] [ ] ˆ 2 R n A R n x = + x 6-3. 已知某随机序列的功率谱 Px (Ω) =1+ cosΩ ，试求其自相关函数和平均功率 P 。 解： 因为 Px (Ω) =1+ cosΩ Ω − Ω = + + j j 2 1 2 1 1 e e − Ω ∞ =−∞ = ∑ j x n R [n]e

所以R,[n]= (0.5,0.5],P=R,[0]=11.6-4.设有一数字滤波器的系统函数为z+1H(=)=(z-0.6)(=-0.8)若其输入随机序列的均值为5，试求其输出序列的均值。解：因为系统极点在单位圆内，所以系统稳定，故有ej+1H(eJ)= H(z(ejn-0.6)(ejn-0.8)m,=m,H(eJO)=125一平稳随机序列Xk)其自相关函数R.[n]=α可[n]，自功率谱P.(Q)=α为常数，试6-5.求通过一个阶FIR滤波器后的R[n],R[n],P（2)。解：设g阶FIR滤波器为[k]=Cbx[k-i]i=0该滤波器的系统函数为H(2)=/故得H(en)=b,e-i=0输出功率谱为P,(Q) =P,(Q)=H(e-b,cosiQb,siniQ7W,cos(i-j)ob.b=Oi=0j=0i=0itj

所以 [ ] {0.5, 1, 0.5}， ↓ Rx n = = [0] =1 P Rx 6-4. 设有一数字滤波器的系统函数为 ( 0.6)( 0.8) 1 ( ) − − + = z z z H z 若其输入随机序列的均值为 5，试求其输出序列的均值。 解： 因为系统极点在单位圆内，所以系统稳定，故有 ( 0.6)( 0.8) 1 ( ) ( ) − − + = = Ω Ω Ω = Ω Ω j j j z e j e e e H e H z j ( ) 125 0 = = j y x m m H e 6-5. 一平稳随机序列 X[k]其自相关函数 ，自功率谱 为常数，试 求通过一个 q 阶 FIR 滤波器后的 [ ] [ ] 2 R n n x = σ xδ 2 ( ) Px Ω = σ x [ ], [ ], (Ω) y xy Pxy R n R n 。 解： 设 q 阶 FIR 滤波器为 [ ] [ ] 0 y k b x k i q i = ∑ i − = 该滤波器的系统函数为 i q i i H z b z − = = ∑0 ( ) 故得 ∑= Ω − Ω = q i j i i j H e b e 0 ( ) 输出功率谱为 ( ) ( ) ( ) 2 Ω = Ω Ω x j Py H e P 2 2 0 x q i j i i ∑b e σ = − Ω = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ Ω ∑ = = 2 0 2 0 2 cos sin q i i q i x i σ b i b i ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ +∑ ∑ − Ω = ≠ = = q j i j i j q i q i x i b b b i j 0 0 0 2 2 σ cos( )

6.6习题3利用傅里叶变换对DTFTo[k]->1DTFTN→2cosm2[k+m]+[k-m]对P,(Q2)求傅里叶反变换即得输出的自相关函数gb,b,q9501+:22R,[]=026?(o[n+j-i]+o[n+j+i)2i=0fe0j=oitj互功率谱和互相关函数可类似地求出，分别为b.cosio-b,siniP.(2)=0)5i=li=lR,[n]= E([k][k+n]) = E(x[K]b, [k +n-i]) =b,R,[n-i]6-6.一线性系统其差分方程为[k]=0.8[k-1]+x[k]+x[k-1]式中x[K]是宽平稳随机序列，具有零均值和自相关函数R,[n]=0.5l求(a)系统输出y[K)的功率谱：(b)输出自相关R,[n]：(c)输出的方差?解：(a）由差分方程可得系统函数为1+ =~1H(-):10.81由于系统的极点位于单位圆内，故系统稳定，系统的频响特性为1+e-n2+2cos2HeH(ej)=1-0.8e-1.64-1.6cosQ根据维纳一一辛钦公式，可得输入序列的功率谱为10.520.75P, (2)=DTFT(0.5ll =1-cosQ+0.521.25-cosQ利用式(6-24)可得输出[k)的功率谱为

6.6 习题 3 利用傅里叶变换对 [ ] 1 δ k ⎯DTFT ⎯ →⎯ [k + m] + [k − m]⎯⎯ →⎯ 2cosmΩ DTFT δ δ 对Py(Ω)求傅里叶反变换即得输出的自相关函数 { [ ] [ ]} 2 [ ] [ ] 0 0 2 0 2 2 n j i n j i b b R n b n q j i j i j q i x q i y x i ⎥ + + − + + + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ ∑ ∑= ≠ = = σ δ σ δ δ 互功率谱和互相关函数可类似地求出，分别为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω = + ∑ Ω − ∑ Ω = = q i i q i xy x i P b b i j b i 1 1 0 2 ( ) σ cos sin R [n] E{x[k]y[k n]} xy = + { [ ] [ ]} 0 E x k b f k n i q i = ∑ i + − = [ ]} 0 b R n i x q i = ∑ i − = 6-6. 一线性系统其差分方程为 y[k] = 0.8y[k −1]+ x[k]+ x[k −1] 式中 x[k]是宽平稳随机序列，具有零均值和自相关函数 n x R [n] = 0.5 , 求(a)系统输出y[k]的功率谱； (b)输出自相关Ry[n]； (c)输出的方差 。2 σ y 解： (a) 由差分方程可得系统函数为 1 1 1 0.8 1 ( ) − − − + = z z H z 由于系统的极点位于单位圆内，故系统稳定，系统的频响特性为 − Ω − Ω Ω − + = j j j e e H e 1 0.8 1 ( ) ， − Ω + Ω = Ω 1.64 1.6 cos 2 2 cos ( ) 2 j H e 根据维纳——辛钦公式，可得输入序列的功率谱为 2 2 1 cos 0.5 1 0.5 ( ) DTFT{0.5 } − Ω + − Ω = = n Px − Ω = 1.25 cos 0.75 利用式(6-24)可得输出 y[k]的功率谱为

1.5+1.5cosQP,(2)=H(ejnP(2) == (1.64 1.6 cos.2)(1.25 cos 2)(b)输出自相关R,[n]为R,[n]= IDTFT(P,(2))m,=m,H(ej"°)=0(c）输出[k]的均值为其方差为1Ng2= lim[k]-m,=R,[0N-2N+1kN6-7.已知某平稳随机序列的一个样本x[k]的6个观测值为0.1746，0.7258，2.1832，-0.1867，-0.5883，-0.1364），试求其均值、方差和自相关函数估计。解：1 1均值估计：x[k]x[k]=0.362m.N6=01 N-I(α[k]-m.16(x[k]-m.)2=0.8228方差估计：N641s0k=01ZR,[n]=自相关函数估计：x[k]x[k +n]N.={-0.004,-0.0336,-0.1262,-0.1689,0.249,0.9539,0.249,0.1689,-0.1262,-0.0336,-0.004)6-8.已知某平稳随机序列的一个样本x[k]的4个观测值为(1，-1，0，1)，试分别用自相关法和周期图法计算其功率谱估计。解：1x[-n)*x[]=—(1自相关法：R,[n]=(1, -1. -1, 3, -1, -1,1)N对上式进行傅里叶变换即得功率谱估计为j38-ej22 -ejn +3-e-in --e-j22 +e-j32)P(2)= DTFT(R,[nl) =(3-2cosQ-2cos2Q+2cos32)1

( ) ( ) ( ) 2 Ω = Ω Ω x j Py H e P (1.64 1.6 cos )(1.25 cos ) 1.5 1.5cos − Ω − Ω + Ω = (b) 输出自相关Ry[n]为 [ ] = IDTFT{ (Ω)} y Py R n (c) 输出 y[k]的均值为 ( ) 0 0 = = j y x m m H e 其方差为 { [ ] } [0] 2 1 1 lim 2 2 y y N k N N y y k m R N − = + = ∑=− →∞ σ 6-7. 已知某平稳随机序列的一个样本 x[k]的 6 个观测值为{0.1746，0.7258，2.1832， −0.1867，−0.5883， −0.1364}，试求其均值、方差和自相关函数估计。 解： 均值估计： ∑ ∑= − = = = 5 0 1 0 [ ] 6 1 [ ] 1 ˆ k N k x x k x k N m =0.362 方差估计： ∑ ∑= − = = − = − 5 0 2 1 0 2 2 { [ ] ˆ } 6 1 { [ ] ˆ } 1 ˆ k x N k x x k mx x k m N σ =0.8228 自相关函数估计： [ ] [ ] 1 [ ] ˆ 1 0 x k x k n N R n N k x = ∑ + − = { 0.004,- 0.0336, - 0.1262, - 0.1689, 0.249, 0.9539 , 0.249,-0.1689, - 0.1262, - 0.0336, - 0.004} ↓ = - 6-8. 已知某平稳随机序列的一个样本 x[k]的 4 个观测值为{1，−1，0，1}，试分别用自相 关法和周期图法计算其功率谱估计。 解： 自相关法： {1, 1, 1, 3, 1, 1, 1} 4 1 [ ]* [ ] 1 [ ] ˆ = − = − − − − ↓ x n x n N Rx n 对上式进行傅里叶变换即得功率谱估计为 [ ]} ˆ ( ) DTFT{ ˆ P R n x Ω = x ( 3 ) 4 1 j3Ω j2Ω jΩ − jΩ − j2Ω − j3Ω = e − e − e + − e − e + e (3 2cos 2 cos 2 2 cos3 ) 4 1 = − Ω − Ω + Ω

6.6习题5周期图法：对x[K]进行离散时间傅里叶变换，有N-Xx(e/)-Zx[k]e-/0k =1-e-n +e /30k=0根据式（6-45)即可求出功率谱估计为X(ejnI n (2) =X(ein)x(ein)(1-ejn+ej32(3-2cosQ-2cos2Q+2cos32)-(1-e-+e16-9.已知某平稳连续随机信号的最高频率=100Hz，利用周期图法估计该信号的功率谱。（1）若用DFT进行谱分析，抽样频率fsm=2000Hz，谱线间隔小于2Hz，则进行谱估计的信号的最小长度N是多少？(2）试给出两种将谱估计的方差减小到原来方差1/10的方法，并比较这两种方法。解：N==1000(1）信号的最小长度4f.(2）可以采用Bartlett法，将1000个观测值分成长度L=100的10段，或者采用Welch法，将1000个观测值按各段50%重叠分成长度L=200的10段。在同样的分段数下，采用Welch法，各段数据变长，因此偏差比Bartlett法减小，频率分辨率比Bartlett法高。6-10.设有均值为0，方差为1的白噪声π[k通过下列差分方程表示的滤波器后产生随机信号[][k]=0.9y[k-1]+n[k](1）对AR模型确定滤波器的系统函数H(=)。(2)求输出功率谱P,(Q2)。解：11由H(=)=可得H(e1-0.9e-j01 0.9=11已知 P,(2)=1,故P,(2)=H(e)P,(Q)=(1 0.9 cos2)2 + (0.9 sin 2)2

6.6 习题 5 周期图法： 对 x[k]进行离散时间傅里叶变换，有 − Ω Ω − = Ω − Ω =∑ = − + 3 1 0 ( ) [ ] 1 j j N k j j k N X e x k e e e 根据式(6-45)即可求出功率谱估计为 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) j * j 2 jΩ Ω Ω Ω = = X e X e N X e N I N N N N (3 2 cos 2 cos 2 2cos3 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 3 3 = − + − + = − Ω − Ω + Ω − jΩ − j Ω jΩ j Ω e e e e 6-9. 已知某平稳连续随机信号的最高频率fm=100Hz，利用周期图法估计该信号的功率谱。 (1) 若用DFT进行谱分析，抽样频率 fsam=2000Hz，谱线间隔小于 2Hz，则进行谱估 计的信号的最小长度N是多少？ (2) 试给出两种将谱估计的方差减小到原来方差 1/10 的方法，并比较这两种方法。 解： (1) 信号的最小长度 1000 sam = = c f f N ∆ (2) 可以采用 Bartlett 法，将 1000 个观测值分成长度 L=100 的 10 段，或者采用 Welch 法， 将 1000 个观测值按各段 50%重叠分成长度 L=200 的 10 段。 在同样的分段数下，采用 Welch 法，各段数据变长，因此偏差比 Bartlett 法减小，频率 分辨率比 Bartlett 法高。 6-10. 设有均值为 0，方差为 1 的白噪声η[k]通过下列差分方程表示的滤波器后产生随机信 号 y[k] y[k] = 0.9y[k −1]+η[k] (1) 对 AR 模型确定滤波器的系统函数 H(z)。 (2) 求输出功率谱 (Ω) Py 。 解： 由 1 1 0.9 1 ( ) − − = z H z 可得 − Ω Ω − = j e H e 1 0.9 1 ( ) j 已知 (Ω) =1 Pη , 故 ( ) ( ) ( ) 2 Ω = Ω Ω Pη P H e j y 2 2 (1 0.9 cos ) (0.9sin ) 1 − Ω + Ω =