第6章功率谱估计-离散随机序列的特征描述■平稳随机序列通过LTI系统-经典功率谱估计国现代功率谱估计6.1离散随机序列的特征描述国随机过程的分布函数厦随机信号的数字特征平稳各态遍历随机信号的时域描述晨平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度）随机过程的分布函数(X[K],keZ)表示一个随机过程一维分布函数F(x,k)= P(X[kl≤x)二维分布函数F(x,x,;,k,k,)=P(Xkl<≤x,X[k,l≤x)N维分布函数F(xj,x2,"",xn;kj,k2,"-.kn)= P(X[k,]≤x,"..X[kn]≤xn)二、随机信号的数字特征均值m.[k]= E(X[k]方差α"[K]= E((X[K]- m,[k])?} = E(X?[k]} -m[k]自相关函数R[k,k]= E(X[k]X[k,]互相关函数R,[k],k,]= E(X[k,]Y[k,]]三、平稳各态遍历随机信号的时域描述1平稳随机序列指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列严平稳随机序列：F(xj,2x,2,..)=F(,x2,xn,,+n, +n,..+n)宽平稳随机序列：E(X[K]) =mE(X[K]X[k+n]} = R,[n]平稳随机信号自相关函数特性(1)对称性R.[n]= R,[-n]R [n]=R[-n]
第 6 章 功率谱估计 ◼ 离散随机序列的特征描述 ◼ 平稳随机序列通过 LTI 系统 ◼ 经典功率谱估计 ◼ 现代功率谱估计 6.1 离散随机序列的特征描述 ◼ 随机过程的分布函数 ◼ 随机信号的数字特征 ◼ 平稳各态遍历随机信号的时域描述 ◼ 平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度） 一、 随机过程的分布函数 {X[k], kZ}表示一个随机过程 一维分布函数 二维分布函数 N 维分布函数 二、随机信号的数字特征 均值 方差 自相关函数 互相关函数 三、平稳各态遍历随机信号的时域描述 1 平稳随机序列 指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列 严平稳随机序列： 宽平稳随机序列： mx E{X[k]} = E{X[k]X[k n]} R [n] + = x 平稳随机信号自相关函数特性 （1） 对称性 R [n] R [ n] x = x − [ ] [ ] * Rx n = Rx −n ( , , , ; , , ) ( , , , ; , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 F x x x k k k F x x x k n k n k n N N N N = + + + F(x, k) = P(X[k] x) ( , ; , ) ( [ ] , [ ] ) F x1 x2 k1 k2 = P X k1 x1 X k2 x2 ( , , , ; , , ) F x1 x2 xN k1 k2 kN ( [ ] , [ ] ) = P X k1 x1 X kN xN m [k] E{X[k]} x = [ ] {( [ ] [ ]) } { [ ]} [ ] 2 2 2 2 k E X k m k E X k m k x = − x = − x [ , ] { [ ] [ ]} 1 2 1 2 R k k E X k X k x = [ , ] { [ ] [ ]} 1 2 1 2 R k k E X k Y k xy =
（2）极限值n=0R,[O]=E(X-[k]]R,[]=m?n-→（3）不等式R,[0]≥ R.[n]2.各态遍历随机信号集平均等于时间平均1m, = E(X[k]) = limx[k]m2N+1kN1? = E([X[k]-m,]} = lim[x[k]-m]Nm2N+1k=NN12x[kx[k+n]R.[n]==E(Xk]X[k+n=lim2N+1kN四、平稳各态遍历随机信号的频域描述功率谱密度1[2N +1/Fx(2, N))P(2) = lim El-->a维纳一一辛钦公式P(Q)= ZR(n)e-mn[P(2)ej"dR(n)=2元当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对
（2）极限值 n = 0 [0] { [ ]} 2 R E X k x = n → 2 [ ] Rx = mx （3）不等式 R [0] R [n] x x 2. 各态遍历随机信号 集平均等于时间平均 =− → + = = N k N N x x k N m E X k [ ] 2 1 1 { [ ]} lim 四、平稳各态遍历随机信号的频域描述 功率谱密度 维纳——辛钦公式 =− − = n j n x x P ( ) R (n)e = − R n P e d j n x x ( ) 2 1 ( ) 当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和 功率谱密度是一对傅里叶变换对。 ( , ) ] 2 1 1 ( ) lim [ 2 F N N P E X N x + = → [ ] [ ] 2 1 1 [ ] { [ ] [ ]} lim x k x k n N R n E X k X k n N k N N x + + == + = =− → =− → − + = − = N k N x N x x x k m N E X k m 2 2 2 [ [ ] ] 2 1 1 {[ [ ] ] } lim
6.2平稳随机序列通过LTI离散时间系统输出序列的均值输出序列的自相关函数输出序列的功率谱心输入/输出序列的互相关函数及互功率谱平稳随机序列通过LTI系统Y[Kk]h[k]X[K]Y[k]= h[n]X[k -n]n、输出序列的均值m,[k]= E([k]) = h[n]E(x[k-n]]=m,h[n]H(ejo)m,[K] = m,H(ej0)二、输出序列的自相关函数R,[n]= R,[n]* R.[n]Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[K]的自相关函数 Rx[n]的卷积.系统单位脉冲响应h[K]是确定信号，其自相关函数定义为= DTFT(R,[n]}-DTFT(R,[n])明证R,[n] = E(y[k]y[k +n])= E( h[]x[k -1](Zh[m]x[k + n - m])m-ZZ h[]h[m]E(x[k-]x[k + n -m]R,[n-m+]] [][n+]* R,[n] = R,[n]* R,[n]R,[n]
6.2 平稳随机序列通过 LTI 离散时间系统 ◼ 输出序列的均值 ◼ 输出序列的自相关函数 ◼ 输出序列的功率谱 ◼ 输入/输出序列的互相关函数及互功率谱 平稳随机序列通过 LTI 系统 X[k] h[k] Y[k] Y[k] h[n]X[k n] n = − 一、输出序列的均值 H(ej0) 二、输出序列的自相关函数 R [n] R [n] R [n] y = h x Ry[n]是系统单位脉冲响应 h[k]的自相关函数 Rh[n]与输入随机序列 X[k] 的自相关函数 Rx[n]的卷积. 系统单位脉冲响应 h[k]是确定信号，其自相关函数定义为 DTFT{R [n]} DTFT{R [n]} h x = Ry [n] = E{y[k]y[k + n]} = ( [ ] [ − ])( [ ] [ + − ]) l m E h l x k l h m x k n m h[l]h[m]Ex[k l]x[k n m] l m = − + − R [n m l] x − + h[l]h[n l]* R [n] x l = + R [n] R [n] = h x Rh [n] 证 明 m [k] E{y[k]} h[n]E{x[k n]} n y = = − = n mx h[n] [ ] ( ) j0 m k m H e y = x
三、输出序列的功率谱P,(2)= DTFT(R,[n]} = DTFT(R,[n]* R,[n])DFTRDIFTRDTFT(h[n)* h- n]) =|H(ej)2P(2)P,(2)=H(e) P(2)四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关R,[n]= E(Y[k]X[k +n]) = h[-n]* R,[n]R,[n]= E(x[k]y[n+ k]] = h[n]* R[n]互功率谱P(2)= DIFT(R,[nl) = H(ej)P(2)Pr(2)=DIFT(R,[nl) = H*(e/°)P(2)[例]一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器[α<1y[k] = x[k]+o[k -1]求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。零均值白噪声的特征P(2) =g?E(X[kll=0emdQ=?[n]R,[n]=2元解：1>[alH(2)=1 az-lh[k]=α*u[k]1H(ejn)ae-oH(en1-2αcosQ+α2（1）计算输出的自相关函数
三、输出序列的功率谱 P ( ) DTFT{R [n]} DTFT{R [n] R [n]} y = y = h x ( ) ( ) ( ) 2 = x j Py H e P DTFT{R [n]} DTFT{R [n]} h x = 2 DTFT{ [ ]* ]} ( ) − = j h n h n H e Px() 四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关 R [n] E{Y[k]X[k n]} h[ n] R [n] yx = + = − x R [n] E{x[k]y[n k]} h[n]*R [n] xy = + = x 互功率谱 () = DTFT{ [ ]} = ( ) () x j Pxy Rxy n H e P () = DTFT{ [ ]} = *( ) () x j Pyx Ryx n H e P [例]一离散时间平稳白噪声通过一阶 IIR 数字滤波器 求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。 零均值白噪声的特征 E{X[k]} = 0 2 P() = d [ ] 2π 1 [ ] 2 j 2 π π R n e Ω n n x = = − 解： z a az H z − = −1 1 1 ( ) h[k] u[k] k = − − = j j e H e 1 1 ( ) 2 2 1 2 cos 1 ( ) − + = j H e （1）计算输出的自相关函数 y[k] = x[k]+y[k −1] 1
α"SWαta"n≥01-αR,[n]=h[k]h[k +n]-Wα""k=0α*α+kn<o1-α2Qll1-α2ao0lR,[n]= R,[n]* R,[n] =α?R,[n]1-α2（2）输出平均功率1个ay2[K]= R,[0] :lim1-α3N2N+1k-N（3）输出功率谱92P,()=H(en) P(2)=1-2αcos +α经典功率谱估计6.3谱估计的质量--相关法(间接法)-周期图法(直接法)-周期图法的改进-利用MATLAB实现功率谱估计一、谱估计的质量1.估计量的偏差bia-E-02．估计量的方差var(0) = E((0- E(0)))若bia(@)=0，limvar(①)=0，则称为的一致估计3.估计量的均方差MSE(0)=E((0-0)1 =var(0)+bia(0)二、相关法（间接法)进行功率谱估计-相关法的理论基础一自相关函数估计的计算-相关法进行功率谱估计
= + = =− R [n] h[k]h[k n] k h − = − = − + =− + = 0 1 0 1 2 2 0 n n n k n k k n n k n k k 2 1 − = n R [n] R [n] R [n] y = h x [ ] 2 = Rh n 2 2 1 − = n （2）输出平均功率 [ ] [0] 2 1 1 lim 2 y N k N N y k R N = + =− → 2 2 1 − = （3）输出功率谱 ( ) ( ) ( ) 2 = x j Py H e P 2 2 1 2 cos − + = 6.3 经典功率谱估计 ◼ 谱估计的质量 ◼ 相关法(间接法) ◼ 周期图法(直接法) ◼ 周期图法的改进 ◼ 利用 MATLAB 实现功率谱估计 一、谱估计的质量 1．估计量的偏差 = }− ˆ } { ˆ bia{ E 2．估计量的方差 }) } ˆ { ˆ } {( ˆ var{ 2 = E − E 若bia{ ˆ } = 0, lim var{ ˆ } = 0, 则称 ˆ为的一致估计 N→ 3．估计量的均方差 } ˆ } bia{ ˆ ) } var{ ˆ } {( ˆ MSE{ 2 = E − = + 二、相关法(间接法)进行功率谱估计 ◼ 相关法的理论基础 ◼ 自相关函数估计的计算 ◼ 相关法进行功率谱估计