f(x)dx1·元docoskxdx +f(x)coskxdx -2元2元元coskxcosnxdx+bcoskx sinnx dx1ann元一元n元cos kxdx =akπ(利用正交性）ak元 f(x)cos kxdx(k=1,2,...)类似地，,用 sin k x乘①式两边,再逐项积分可得bk ==[" f(x)sin kxdx(k=1, 2, :.)HIGH EDUCATION PRESS
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
8doZf(x)=an cosnx + bn sinnx2n=l元(n=0,1,...)f (x)cosnxd xn一元元元f(x)sinnxd x(n=1,2, ...)元由公式②确定的 an，bn称为函数f(x)的傅里叶系数； 以f(x)的傅里①称为叶系数为系数的三角级数f(x) 白的傅里叶级数傅里叶，J.-B.JHIGH EDUCATION PRESS
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数
定理3设f（x）是周期为2元的收敛定理，展开定理条件：周期函数，并满足狄利克雷Dirichlet1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2）在一个周期内只有有限个极值点注意：函数展成则f(x）的傅里叶级数收敛，且有傅里叶级数的条8件比展成幂级数%+?+Z(an cos nx +bn sinnx的条件低得多n=lx为连续点f(x),f(x)+ f(x)x为间断点2我利先#.2.0.1其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略HIGHEDUCATIONPRESS
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多
设f(x）是周期为2元的周期函数，它在【-元，元）例1上的表达式为-元≤x<0一1f(x)=1 1, 0≤x<元将f(x）展成傅里叶级数x解：先求傅里叶系数f(x)cos nxd x元(-1)cos nxd x +1.cosnxdx元J0元J一元(n=0,1,2,.:)HIGH EDUCATION PRESS
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1
一f(x)sin nxd x一元元?1"1.sinnxdx(-l)sinnxd x +元J0一元电元cosnxcosnx1-cosn元YT元n元元D当n=1,3,5,...n元1-(-1n元当n=2,4,6,sin(2k -1)x + ...: f(x)=sin3xsinx +2k-1元—0<x<+0,×±0,±元,±2元，.HIGH EDUCATION PRESS
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , )