第五节极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 ②0∞
第五节 极限运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则
无穷小运算法则 定理1有限个无穷小的和还是无穷小 证:考虑两个无穷小的和.设lima=0,limB=0, r-x x→>x0 VE>0,31>0,当0<x-x0<61时,有a|< 62>0,当0<x-x0<82时,有<2 取δ=min{1,82,则当0<x-x0<6时有 a+B≤a+B<2+2=6因此 im(a+B)=0.这说明当x→x时,a+为无穷小量 类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小
一、 无穷小运算法则 = min 1 , 2 , 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设x∈U(xo,61),l≤M 又设lma=0,即VE>0,彐2>0,当x∈U(xo,62) 时有a≤取δ=min{61,o2 则当x∈∪(xo,O)时,就有= ulas m,=E 故liml=0,即a是x>x时的无穷小 x→x 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 ②0∞
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
例1 nr 求lim X 解::|sinx≤1 Im 0 x→>00x 利用定理2可知i3x=0 x→>00 sInx 说明:y=0是y 的渐近线 X ②0∞
例1、 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin =
二、极限的四则运算法则 定理3、若lmf(x)=A,img(x)=B,则有 1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 2 lim[f(x)g(x)]= limf(x)lim g(x)=AB 3、mimf(x)=im(x)=4 g(x) lim g(x) B ②0∞
二、 极限的四则运算法则 定理 3 、若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 1、 2、 3