第八节函数的连续性与间断点 一、函数连续性的完义 oo二、函数的间断点 ②0∞
第八节 函数的连续性与间断点 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义
函数连续性的定义 定义:设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,且 imf(x)=f(x0),则称函数f(x)在x0连续 可见,函数∫(x)在点x连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点x有定义,即f(x)存在 (2)极限limf(x)存在 x-x (3)lim f(x)=f(o) ②0∞
一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 在点 0 x 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;
若∫(x)在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上 连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如,P(x)=a0+a1x+…+anx"(有理整函数) 在(-∞,+∞)上连续 又如,有理分式函数R(x)=P(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0,都有imR(x)=R(x) x→>x
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
对自变量的增量Ax=x-x0,有函数的增量 y=∫(x)-f(xo)=f(x0+△x)-f(xo) 函数f(x)在点x连续有下列等价命题 limf(x)=f(x)←1imf(xo+△x)=f(x0) △x->0 lim△y=0 yy=f(x) △x->0 △ ←f(x0)=f(x0)=f(x △v 左连续右连续 0 X x vE>0,36>0,当|x-x0=x|<6时有 Jf(x)-f(x)=△y1<E ②0∞
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题:
二、函数的间断点 设f(x)在点x的某去心邻域内有定义,则下列情形 之一函数f(x)在点x不连续 (1)函数f(x)在x无定义 2)函数f(x)在x0虽有定义,但mf(x)不存在 x-xo (3)函数f(x)在x虽有定义,且imf(x)存在,但 -xo imf(x)≠f(x0) x->x0 这样的点x0称为间断点 ②0∞
在 二、 函数的间断点 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 无定义 ;