第四节隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 ②0∞
第四节 隐函数 所确定的函数的导数 及由参数方程 相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 例如,x-y3-1=0可确定显函数y=3 y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数, 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法:F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程 dx ②0∞
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
例1、求由方程y3+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=y(x)在x=0处的导数 dy dxx=o 解:方程两边对x求导 d dx(y)+2y-x-3x)=0 d d 得5 +2-1-21x0=0 dx dx dy 1+21x6 4 y+2 dy 因x=0时y=0,故 dxx=0 2 ②0∞
例1、求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数
例2.求椭圆+=1在点(2,3)处的切线方程 169 解:椭圆方程两边对x求导 +yy=0 89 =3316yy=33 故切线方程为 3 即 √3x+4y-83=0 ②0∞
例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即
例3、求y=xx(x>0)的导数 解:两边取对数,化为隐式 In y=sinx Inx 两边对x求导 SIn x y=cosx·lnx+ sin x Sinx coSx·nx+ ②0∞
例3、 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y 1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x = +