2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第3章导数概念、性质与计算 3.1导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认识, 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式 由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。 在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式,导 数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 公式及要点 3.1.1导数定义及其变形形式 定义31设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义 △x=x-x0,Ay=f(x0+△x)-f(x0) △ lim f(x0+△x)-f(x0) f(x0) △x→>0△ f(xo=lim f(x-f(o) 导数(x0)的几何意义:切线斜率 等价性描述: △y(x0)=A+a(A) △ 且A=f(x0).其中a(△x)是△x→>0时的无穷小量进一步可改写为 4f(x0)=∫(xo)x+a(△x)·Ax ek f(x)=f(xo)+f(xo )Ax+ B(Ax) 其中/(△x)=a(△x)·△x为△x→>O时的高阶无穷小量 导数定义的描述,还可以扩展理解为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 3 章 导数概念、性质与计算 3.1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容，对它的背景与概念，应从极限的角度去认识， 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身，可以得到一系列重要性质，而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。 在计算方面，应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式，导 数的四则运算法则和复合函数的求导法则，以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 公式及要点。 3．1．1 导数定义及其变形形式 定义 3.1 设函数 y = f (x) 在点 的某邻域内有定义， 0x 0 ∆x = x − x ， ( ) ( ) 0 0 ∆y = f x +∆x − f x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x − − ′ = ∆ → 导数 ( ) 0 f ′ x 的几何意义:切线斜率。 等价性描述： ( ) ( ) 0 A x x f x = + ∆ ∆ ∆ α , 且 ( ) 0 A = f ′ x 。其中α(∆x)是∆x → 0时的无穷小量。 进一步可改写为 ∆f (x ) = f ′(x )∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 α 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x + f ′ x ∆x + β ∆x 其中 β (∆x) =α(∆x)⋅∆x 为∆x → 0时的高阶无穷小量。 导数定义的描述，还可以扩展理解为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xo)=lim f(xo+a(△x)-f(x0) △x->0 a(Ar) 定义3.2如果 △ f(xo+△x)-f(x0) m Ax→>0△x△x→>0 存在,则称此极值为(x)在x处的左导数,记为( 0):如果 △ y f(x0+△x)-f(x0) Ax→>0△xAx->0 △x 存在,则称此极值为f(x)在x0处的右导数记为f(x) 显然由极限存在的充要条件,f(x)在x0处可导的充分必要条件是∫(x)在x0处 的左、右导数都存在,且相等 f(b)=f4(a) 当我们说∫(x)在闭区间[a,b]上可导时,是指∫(x)在(a,b)内每一点都可 导,并且f(a)与厂(b)均存在 例3.1 im x[sinIn(1+-)-sinIn(1+J= X 【解】令 sinIn(1+ 3t)-sin In(1+t) 原极限=1m [sinIn(1+3t)-sinIn(1+ort=0=2 例32若广"(a)=k存在,则 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → α α 定义 3.2 如果 x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ − → − ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x)在 处的左导数，记为 ；如果 0x ( ) 0 f x − ′ x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ + → + ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x)在 处的右导数，记为 。 0x ( ) 0 f x + ′ 显然由极限存在的充要条件， f (x)在 处可导的充分必要条件是 0x f (x)在 处 的左、右导数都存在，且相等 0x f− ′(b) = f (a) + ′ 。 当我们说 f (x)在闭区间[a,b]上可导时，是指 f (x)在 内每一点都可 导，并且 (a,b) f (a) + ′ 与 f (b) − ′ 均存在。 例 3.1 + − + = →∞ )] 1 ) sin ln(1 3 lim [sin ln(1 x x x x 。 【解】令 x t 1 = ，则 原极限＝ t t t t sin ln(1 3 ) sin ln(1 ) lim 0 + − + → = [sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)]′ | t=0= 2。 例 3.2 若 f ′(a) = k 存在，则 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 lim h f(a-5)-f(a h (A)-k。(B)k。(c)0.(D)不存在。 解】,imhf(a-7)-f(a) h→》+0 f(a-)-f(a) f(a+1)-f( t→>0 f(a)=-f(a)=-k 上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A) x arctan >0 例3.3设f(x 兀,sinx-1).x≤0 讨论∫(x)的可微性,若可微,求广(x)并讨论其连续性 解1首先(x)在x=O处连续。再由初等函数可导性的结论,只须讨论∫(x)在 x=0处的可微性,为此考虑极限 x arctan f(0)=1im x丌 存在, >0 X SInx f(0= lim 丌 f(0 x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h （ ）。 （A）− k 。 （B）k 。 （C）0。 （D）不存在。 【解】 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h h f a h f a h 1 ) ( ) 1 ( lim − − − = − →+∞ t f a t f a t ( ) ( ) lim 0 + − = − → − = − f ′(a) = − f ′(a) = −k. − 上述第最后用到了导数存在的充要条件：左右导数存在且相等，因此应选（A）。 例 3.3 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ > = ( 1), 0 2 , 0 1 arctan ( ) sin e x x x x f x π x , 讨论 f (x)的可微性，若可微，求 f ′(x) 并讨论其连续性。 【解】 首先 f (x)在 x = 0 处连续。再由初等函数可导性的结论, 只须讨论 f (x)在 x = 0 处的可微性，为此考虑极限 2 1 arctan (0) lim 0 π ′ = = + → + x x x f x 存在， 2 1 lim 2 (0) sin 0 π π = − ′ = − → − x e f x x = (0) +f ′ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:627381785 因此 f(x)在x=0 处可微,结论为 f∫(x)在(∞,+∞)上处处可微 arctan x>0 x x=0 T COSX sIn x e x<0 limf(x)==f(O),于是f(x)在x=0处连续,结论为 x>0 ∫(x)处处连续 例34设∫(O)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为() t bh2/(I-cosh) hmh/d-e) (c) lim-f(h).o lim [f(2h)-f(h)] h→>0h h→>0h 【解】答案应为(B),因为(B)的极限存在等价于极限 h lim h f(0 um h→>0 h→>0h 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 因此 f (x)在 x = 0 处可微，结论为： f (x)在(−∞,+∞)上处处可微。 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = > + − ′ = , 0 2 cos , 0 2 , 0 2( 1) 1 arctan ( ) sin 2 3 e x x x x x x x f x π x π ， (0) 2 lim ( ) 0 f x f x ′ = = ′ → π ，于是 f ′(x) 在 x = 0 处连续。结论为： f ′(x) 处处连续。 例 3.4 设 f (0) = 0，则 f (x)在 x = 0 处可导的充要条件为（ ）。 (A) (1 cos ) 1 lim 2 0 f h h h − → 。 (B) (1 ) 1 lim 0 h h f e h − → 。 (C) ( ) 1 lim 3 2 0 f h h→ h 。(D) [ (2 ) ( )] 1 lim 0 f h f h h h − → 。 【解】答案应为(B)，因为(B)的极限存在等价于极限 h e e f e h h h h − − − → 1 1 (1 ) lim 0 h e e f e f h h h h h − ⋅ − − − = → → 1 lim 1 (1 ) (0) lim 0 0 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 h h 存在,而1m = Im 1又存在,故极限 h→>0h h im<(1-e")-/0 存在,若记a(h)=1-eh,则a(h)趋于 h→>0 零的方式是任意的。可知 ∫(0)存在 并且有 f(1-e")-f(0) Im f'(0) h→>0 i对,是因为h→>0时,h2→>0+,不合导数定义。考虑(0,极限 lim-f(h') h→>0h limf(h).lim h-0 h h→>0 hh im,3f(h3)·0存在,不能保证 hl h→>0 lim,3f(h3)的存在,因此(亦不对,至于选项0,极限表达式中缺少 h→>0h f(O),由极限运算法则,考虑 +【(f(2h)-f(0)-(f(h)-f(0) Im f(2h f(h 的存在不能保证llm 或lim 的存在性,所以①)亦不对 h→>0hh→>0h 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 存在， 而 lim 1 1 lim 0 = − − = − → h h h e h h 又 存 在，故 极 限 h h h e f e f − − − → 1 (1 ) (0) lim 0 存在，若记 h α(h) = 1− e ，则α(h) 趋于 零的方式是任意的。可知 f ′(0) 存 在 ，并且有 (0) 1 (1 ) (0) lim 0 f e f e f h h h = ′ − − − → 。 (A)不对，是因为h → 0时， → + 0 2 h ，不符合导数定义。考虑(C)，极限 = → ( ) 1 lim 3 2 0 f h h h ( ) 1 lim 3 3 0 f h h→ h = 2 3 0 lim h h h ⋅ → ⋅ ( ) 0 1 lim 3 3 0 = ⋅ → f h h h 存在，不能保证 ( ) 1 lim 3 3 0 f h h→ h 的存在，因此 (C)亦不对。至于选项(D)，极限表达式中缺少 f (0) ，由极限运算法则，考虑 [( (2 ) (0)) ( ( ) (0))] 1 lim 0 f h f f h f h h − − − → 的存在不能保证 h f h h (2 ) lim →0 或 h f h h ( ) lim →0 的存在性，所以(D)亦不对。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785