2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:62731785 基础部分 第一课微积分 第5章原函数与不定积分 不定积分与原函数 1.1不定积分与原函数的定义 定义51f(x)是定义在区间∈R上的函数若存在定义在上的可导函 数F(x).使得F(x)=f(x),Vx∈I,则称F(x)为 f(x)在上的一个原函数 若F(x)为∫(x)在Ⅰ上的一个原函数,F(x)+C也为 f(x)在Ⅰ上的原函数,其中C为任意常数.:同样可以证明,f(x)的任意两 个原函数的差为常数 义62称f(x)的所有原函数构成的集合{F(x)+C}为f(x) 的不定积分,记作f(x)x=F(x)+C 其中F(x)为f(x)在/上的一个原函数,C为任意常数 5.1.2不定积分存在的充分条件和必要条件 定理5.1连续函数一定存在不定积分。 事实上连续函数∫(x)的变上限积分 ∫f()d姚是f(x)的一个原函数,因此 ∫f(x)dx=lf(x)x+C. 例5.1不连续的函数也可能有原函数或不定积分,例如函数 f(x)≈/2 xsin--cosx≠0 X 0 X三 0 x2sinx≠0 有原函数F(x 水木艾迪考研培 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 5 章 原函数与不定积分 5.1 不定积分与原函数 5．1．1 不定积分与原函数的定义 定义 5.1 f (x)是定义在区间 I ∈ R 上的函数, 若存在定义在 I 上的可导函 数 F(x) , 使得 F′(x) = f (x), ∀x ∈ I , 则称 F(x) 为 f (x)在 I 上的一个原函数。 若 F(x) 为 f (x) 在 I 上的一个原函数, F(x) + C 也 为 f (x)在 I 上的原函数, 其中C 为任意常数; 同样可以证明, 的任意两 个原函数的差为常数. f (x) 定义 5.2 称 f (x)的所有原函数构成的集合{F(x) + C}为 f (x) 的不定积分, 记作 ∫ f (x)dx = F(x) + C ， 其中 F(x) 为 f (x)在 I 上的一个原函数，C 为任意常数。 5.1.2 不定积分存在的充分条件和必要条件 定理 5.1 连续函数一定存在不定积分。 事实上, 连续函数 f (x)的变上限积分 ∫ x a f (t)dt 就是 f (x)的一个原函数, 因此 f x dx f x dx C 。 x a ∫ ( ) = ∫ ( ) + 例 5.1 不连续的函数也可能有原函数或不定积分, 例如函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0 0 0 1 cos 1 2 sin ( ) x x x x x f x 有原函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 0 0 1 sin ( ) 2 x x x x F x 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼110 话:62781785 但x=0点是f(x)的第二类间断点催得指出的是 定理52若函数f(x)在(a,b)区间内有第一类间断点,则f(x)在 (a,b)区间内没有原函数 COSX x≥0 例52设∫(x)= ge-1/x. x<0 若厂(x在上有原函数,则a=() (A)e。(B)0。(C)1。(D)任意。 解:f(x)必须在x=0点连续,即lmf(x)=1.首先 x→>0 lim f(x)=1,其次应有 de lim f(x)=lim 0 x->0 xX a lim x->0 x→>0x 以上结果只当a=1时成立。 x+ 例53设f(x)={1 e+ x< 则∫的一个原函数为(B) 水木艾迪考研培 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 但 x = 0 点是 f (x)的第二类间断点. 值得指出的是 定理 5.2 若函数 f (x) 在 (a,b) 区间内有第一类间断点, 则 f (x) 在 (a,b)区间内没有原函数。 例 5.2 设 ⎩ ⎨ ⎧ − < ≥ = 1/ , 0. cos , 0, ( ) ae x x x x f x x 若 f (x)在 R 上有原函数，则a = （ ）. (A) 。 (B)0。 (C)1。 （D) a 任意。 −1 e 解 : f (x) 必 须 在 x = 0 点连续 ， 即 lim ( ) 1 0 = → f x x 。 首 先 lim ( ) 1, 0 = → + f x x 其次应有 x ae f x x x x 1 lim ( ) lim 0 0 − = → − → − 1 1 1 lim 1 1 1 lim 0 0 = − = − − − + → − → − x a a a x a e a x x x ， 以上结果只当 a = 1时成立。 例 5.3 设 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + < + ≥ = − , 0, 2 1 2 1 1, 0; ( ) e x x x f x x 则 f 的一个原函数为 （ B ）。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 x2+x.x≥0 (x) x<0 (B) x)三 e"+ X< x+x x (C) F(x) e-+-,x<0, x-+x+ x F(x)=2 注:分段函数的不定积分分段计算需要仔细。原函数要求:首先应该连续(特别 在分段点),其次一定是可微函数。 x≤0 例54设∫(x)=1+x x+1x>0 试确定f(x)的一个原函数使F(O)= 水木艾迪考研培 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 （A） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < + ≥ = − , 0, 2 1 , 0; 2 1 ( ) 2 e x x x x F x x （B） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + < + − ≥ = − , 0, 2 2 1 , 0; 2 1 2 1 ( ) 2 x x e x x x F x x （C） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + < + ≥ = − , 0, 2 1 2 1 , 0; 2 1 ( ) 2 e x x x x F x x （D） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + < + + ≥ = − , 0, 2 2 1 1, 0; 2 1 ( ) 2 x x e x x x F x x 注：分段函数的不定积分分段计算需要仔细。 原函数要求：首先应该连续（特别 在分段点），其次一定是可微函数。 例 5.4 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > ≤ = + 1 0 2 1 0 1 1 ( ) 2 x x x x f x 试确定 f (x)的一个原函数,使 4 (0) π F = . 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦100清华大学理科楼1ll电话:62731785 arctan 4≤0 丌 x+x+ x>0 4 1x<0 例56f(x) x∈(-∞,+0 xx≥0 无原函数因t=O为第一类间断点 5.3不定积分的计算方法 5.3.1换元法 (1)第一换元法(凑微分方法) 应作为基本方法强化训练 ∫f"(x)dx=f(x)+C或 ∫f((x)·φ(x)ahx=f(qp(x)+C dx 例5.6计算 a sinx+b-cos-x 解:注意到 X d(=-arctan-+C 1+ a sinx+b- cosx d(atan x) arctan-tanx+C aa tan x+b ab tanx 例5.7 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + > + ≤ = 0 4 0 4 arctan ( ) 2 x x x x x F x π π 例 5.5 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 1 0 ( ) x x x f x , x ∈ (−∞,+∞) 无原函数,因t = 0为第一类间断点. 5.3 不定积分的计算方法 5.3.1 换元法 (1) 第一换元法（凑微分方法） 应作为基本方法强化训练） ∫ f ′(x)dx = f (x) + C 或 ∫ f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) + C 。 例 5.6 计算 ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos 。 解: 注意到 C a x a a x d a a x dx a x ∫ = + + ∫ = + arctan 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 2 2 ∫ a x + b x dx 2 2 2 2 sin cos x C b a a x b ab d a x a ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + = arctan tan 1 tan 1 ( tan ) 2 2 2 例 5.7 ∫ dx x x cos tan 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 d(cosx) 2 +c coSXvcos X COSX ax 例5 22 a(x-a xta d-a x+a 2alx-a xt a n +O 2a x+a 例5.9计算 x√nx(1-lnx) 注意到 dx=arcsinx+C x dx于∫ d(=arcsin-+C x、2d =2 arcsin√x+C x ax 于是 x√nx(1-nx) d (Inx avIn √nx(1-1nx) nx 2 arcsin√lnx+C. 水木艾迪考研培 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = ∫ x x d x cos cos (cos ) C x = + cos 2 。 例 5.8 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∫ = − dx x a a x a x a dx 1 1 2 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∫ − − − = ( ) 1 ( ) 1 2 1 d x a x a d x a a x a C x a x a a + + − = ln | | 2 1 例 5.9 计算 ∫ x ln x(1− ln x) dx ‘ 注意到 dx x C x ∫ = + − arcsin 1 1 2 ， C a x a x d a x dx a x ∫ = + − ∫ = − ( ) arcsin 1 ( ) 1 1 2 2 2 dx x x ∫ (1− ) 1 x C x d x ∫ = + − = 2arcsin 1 2 于是 ∫ x ln x(1− ln x) dx ∫ − = ln (1 ln ) (ln ) x x d x ∫ − = x d x 1 ln ln ， = 2arcsin ln x + C 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785