2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课徹积分 第6章定积分的概念与计算 6.1定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 *概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一个数。 *方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换 *积分等式与不等式的证明。 6.1.1定义 定义6,1设函数(x)在有界闭区间[,b]上有定义,且有界,若 )任意分制区间[a,b]:取点列x,x2…,x 记Ax=x-x,= max, )任取5;∈[x12x]作和式 ∑∫(5,) 份)若限mnSn=1im∑f(5)x,=存在,且极限值与区间 →>0 →>0i=1 [a,b]分前的任意性和51∈[x1,x]取值的任意性无关则称面数f(x)在 区间[a,b]上可积,该极限值 alim S= lim 2f()Ax1=S称为函 →0 1→0 数∫(x)在区间c2b上的积分,记作 I(a, b)=of(rdx=lim S=s A→>0 a,b分别称为积分的下、上限,f(x)称为被积函数,x称为积分中闻变量,定积分的 值与积分中间变量的符号无关,即 ∫af(x)dx=∫bf(t)t 6.1.2 函数的可积性条件 定理6,1函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件,是函数f(x)在[a,b]上有 界 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 6 章 定积分的概念与计算 6．1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念：定积分作为和式的极限，积分中值定理，保序性与估值定理，定积分是一个数。 * 方法：凑微分法，分部积分，回归法，变量替换，区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6。1 设函数 f (x)在有界闭区间[a,b]上有定义, 且有界, 若: (1) 任意分割区间[a,b]: 取点列 : n x , x , , x 0 1 L 记∆ i = i − i−1 x x x , i i λ = max ∆x ; (2) 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − , 作和式 ∑ = = ∆ n i n i i S f x 1 (ξ ) . (3) 若 极 限 存 在 , 且 极 限 值与区间 分割的任意性和 S f x s n i n = ∑ i ∆ i = →0 →0 =1 lim lim (ξ ) λ λ [a,b] [ ] i i i x , x ξ ∈ −1 取值的任意性无关, 则称函数 f (x)在 区间 上可积, 该极限值 称为函 数 [a,b] S f x s n i n = ∑ i ∆ i = →0 →0 =1 lim lim (ξ ) λ λ f (x)在区间[a,b]上的积分, 记作 I a b f x dx S s n b f = a = = → ∫ 0 ( , ) ( ) lim λ a,b 分别称为积分的下、上限, f (x)称为被积函数, x 称为积分中间变量, 定积分的 值与积分中间变量的符号无关，即 ∫ = ∫ 。 b a b a f (x)dx f (t)dt 6.1.2 函数的可积性条件 定理 6。1 函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:，是函数 f (x)在 上有 界。 [a,b] 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 定理6。2函数在有界闭区间a,b可积的充分条件(满足下列条件之一即可 f(x)在区间[a,b]上单调有界: ()f(x)在区间[a,b上有界,且只有有限个间断点; f(x)在区间[a,b]上连续 定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3定积分的性质及常用结论 )∫af(x)ax=-f(x)lhx (2)对 积 分 区 间 的 可 性 Vc∈R,Jaf(x)dx=∫af(x)ax+∫bf(x)dx对被 积函数满足线性性 SalAf(x)+ Bg(x) ldx= a af(x)dx+bag(x)dx 保序性(保号性):若可积函数f(x)≥0,Vx∈[a,b],则 ∫af(x)dx≥0 若可积函数f(x)g(x)满足f(x)≥g(x),则 af(x)akx≥∫bg(x)ax. 特别,若非负连续函数f(x)在[a,b]上不恒为,则∫bf(x)dx>0 (3)若f(x)在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上也可积且 a f(x)dx a f(x)dx (估值定理:若可积函数f(x)在a,b]上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤Jaf(x)ax≤M(b-a) 进一步,若函数8(x)[anb]上非负可积,则(称为比较性质 mg(x)dx≤jbf(x)g(x)dx≤M∫ag(x)dx G积分中值定理:若函数f(x)在[a,b连號,g(x)在[a,b]上取定号且 积 则5∈(a2b) 使 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 定理 6。2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可) (1) f (x)在区间[a,b]上单调有界; (2) f (x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点; (3) f (x)在区间[a,b]上连续. 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例题） 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) ∫ = −∫ a b b a f (x)dx f (x)dx (2) 对积分区间的可加性: ∀ ∈ ∫ = ∫ + ∫ b c c a b c R, a f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 对 被 积函数满足线性性: ∫ [ ] + = ∫ + ∫ b a b a b a Af (x) Bg ( x) dx A f ( x)dx B g ( x)dx 保序性（保号性）: 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b], 则 ∫ ( ) ≥ 0。 b a f x dx 若 可 积 函 数 f (x), g(x) 满 足 f (x) ≥ g(x) , 则 ∫ ≥ ∫ 。 b a b a f (x)dx g(x)dx 特别，若非负连续函数 f (x)在[a,b]上不恒为零， 则 ∫ ( ) > 0。 b a f x dx (3) 若 f (x)在[a,b]上可积, 则 f (x)在[a,b]上也可积, 且 ∫ ≤ ∫ b a b a f (x)dx f (x) dx (4) 估值定理: 若可积函数 f (x)在[ a , b ] 上满足m ≤ f (x) ≤ M , 则 m(b a) f (x)dx M (b a) b − ≤ ∫ a ≤ − 进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则（称为比较性质） ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ b a b a b m a g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx (5) 积分中值定理: 若函数 f (x)在[a,b]上连续, g(x) 在 上取定号且 可积, 则 [a,b] ∃ξ ∈(a,b), 使 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xg(x)dx=f(ssag(x)d 特别 g(x)≡1时,彐5∈[a,b 使 bf(x)dx=f((b-a).或 f(x)dx 6-a b1(x)(平均值 事实上还可进一步证明彐50∈(an,b),使上述结论成立 )若f(x)在[一a,a]上是可积的奇函数则f(x)dhx=0 若f(x)在[—a,a]上是可积的偶函数 f(dx= 2of(x)dx (9)若f(x)是可积的周期函数,切周期为T,则对任意是实数a必有 f at f(xdx=o f(x )dx 0)若连续函数(x)满足∫f(x)dx=O,则存在x0∈(an,b)使得 f(x0)=0 (证明方法1:由中值定理;证明方法2:由连续函数的保号性) (11)若非负连续函数 f(x)是∫bf(x)lhx=0,则 Vx∈{a,b],f(x)≡0 (证明方法:由连续函数的保号性与积分的保号性反证 例6.1设 :1= Jasin(sin x dx, 1,=jacos(sin x ) dx, (A) )1<1<l2,(B)1>1>12 (C) (D) 解]当x∈(?′Sinx<x,且Sinx为增函敷,于是 sin(sin x)< sin x, 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ = ∫ b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 特别, g(x) ≡ 1 时 , ∃ξ ∈[a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) b ∫ a = ξ − , 或 __________ [ , ] ( ) ( ) ( ) f f x b a f x dx a b b a = = − ∫ ξ （平均值） 事实上还可进一步证明 ( , ), ∃ξ 0 ∈ a b 使上述结论成立。 （8）若 f (x)在[−a,a]上是可积的奇函数, 则 ∫ ( ) = 0; − a a f x dx 若 f (x) 在 上 是 可 积 的 偶 函 数 , 则 。 [−a,a] ∫− = ∫ a a a f (x)dx 2 0 f (x)dx （9）若 f (x)是可积的周期函数, 切周期为T ，则对任意是实数 a 必有 ∫ = ∫ a+T T a f (x)dx 0 f (x)dx （10）若连续函数 f (x)满足 ∫ ( ) = 0 b a f x dx ，则存在 ( , ) x0 ∈ a b 使得 f (x0 ) = 0 。 （证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性） （ 11 ） 若非负 连续函 数 f (x) 满 足 ∫ ( ) = 0 ， 则 b a f x dx ∀x ∈[a,b], f (x) ≡ 0。 （证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性反证） 例 6．1 设 I = ∫0 2 x dx 1 sin(sin ) π ，I = ∫0 2 x dx 2 cos(sin ) π ，则 ( A ). （A） 1 1 2 I < < I 。 （B） 1 1 2 I > > I 。 （C） 1 2 I = I 。 （D） I1 > I 2 >1. [ 解 ] 当 ) 2 (0, π x ∈ ， sin x < x ， 且 sin x 为 增 函 数，于 是 sin(sin x) < sin x, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1,=asin(sin x dx <jasindx=1. 而cOSx为减函数,则有cOS(SInx)>Snx,于是 L,=Jacos(sin x dx >jacos xdx=1>l 例6.2估计积分e 的范围 解 max(x2-2x)=0.min x [0,2 [0,2 2e=eax≤l ≤leax=2 例6 设M=xln2(x+√1+x2) N=1-.,dx,P= x √1+x (1+x2) 则(A )BP<M<N。()M<N<P cc)M<P<N. (D)N<P<M 解:由于M为奇函数在对称区间的积分,故为0; N=2∫ 21+x21=2(2-1)>0 P=-2 dx<O (1+x2) 所以P<M<N 6.2牛顿一莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2.1牛顿一莱布尼兹公式及其应用 定理6。3牛顿一菜布尼兹公式 若f(x)是[a,b]上的连续函数,F(x)为f(x)在[a,b上的一个原 函数,则存在常数C,使F(x)=f(t)dt+C,Vx∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 I = ∫ 0 2 x dx 1 sin(sin ) π < ∫0 2sindx =1 π ， 而cos x 为减函数，则有cos(sin x) > sin x ，于是 I = ∫ 0 2 x dx 2 cos(sin ) π 1 2 > ∫0 cos xdx =1 > I π 。 例 6．2 估计积分 ∫ 的范围. 2 − 0 2 2 e dx x x 解: [ ]( ) [ ] max 2 0, min( 2 ) 1 2 0,2 2 0,2 − = − = − ∈ ∈ x x x x x x ， 2 2 2 0 2 0 0 2 2 0 1 1 2 = ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ = − − − e e dx e dx e dx x x 例 6 ． 3 设 M x ln (x 1 x )dx 1 2 2 = ∫−1 + + ， dx x x x N ∫− + + = 1 1 2 3 1 ， ∫− + − = 1 1 2 2 3 (1 ) 1 dx x x P ， 则(A) 。 (A)P < M < N 。 (B)M < N < P 。 (C)M < P < N 。 (D)N < P < M 。 解：由于 M 为奇函数在对称区间的积分，故为 0； 2 1 2( 2 1) 0 1 2 1 0 1 0 2 2 2 = + = − > + = ∫ x x dx N 0 (1 ) 1 2 2 2 1 0 < + = − ∫ dx x P 所以 P < M < N 。 6.2 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2．1 牛顿—莱布尼兹公式及其应用 定理 6。3 牛顿—莱布尼兹公式 若 f (x)是[a,b]上的连续函数, F(x) 为 f (x)在 上的一个原 函数, 则存在常数C, 使 [a,b] F x f t dt C x ( ) = ∫a ( ) + , ∀x ∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 hf(x)bx=F(b)-C=F(b)-F(a)=F(x)。上述公 式称为牛顿一菜布尼兹公式特别还有 a f(r)dx=f(b)-f(a 牛顿一莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题,或求原函数问题。 利用牛顿一莱布尼兹公式,我们可以通过不定积分求的定积分的值 例6.4求x 解:x-1lx=(1-x)ax+/2(x-1) 2 注:对于分段定义的函数,定积分计算应特别注意分段积分。 例6.5求 Sinxax #: J 1-sin xdx=sosin -cos ldx X Se cos -sin dx+SI sin-cos dx 4√2-4. x-1x<0 例6.6设(x) x+1x>0块门f(x)dx. 解:解法f(x)在[-1,1区间内有第类间断点,因此在[一1,1区间内不存 在原函数,不能用牛顿一莱布尼兹公式.利用对区间的可加性有 I f(x)dx=o f(x)dx+5o f(x)dx 在[-1,0],[O,1内分别可以用牛顿莱布尼兹公式 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 b a b a f (x)dx F(b) C F(b) F(a) F(x) ∆ ∫ = − = − = 上述公 式称为牛顿—莱布尼兹公式.特别还有 f (x)dx f (b) f (a) b ∫a ′ = − 。 牛顿—莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题，或求原函数问题。. 利用牛顿—莱布尼兹公式，我们可以通过不定积分求的定积分的值。 例 6．4 求 ∫ − 。 2 0| x 1| dx 解: ∫ − = ∫ − + ∫ − 2 1 1 0 2 0 | x 1| dx (1 x)dx (x 1)dx 1 2 2 2 1 2 1 0 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − x x x x 注：对于分段定义的函数，定积分计算应特别注意分段积分。 例 6．5 求 1 sin . ∫0 − π xdx 解: ∫ − = ∫ − π π 0 0 2 cos 2 1 sin . sin dx x x xdx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π π 2 20 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos dx x x dx x x = 4 2 − 4. 例 6．6 设 ⎩ ⎨ ⎧ + > − ≤ = 1 0 1 0 ( ) x x x x f x , 求 ∫ 。 − 1 1 f (x)dx 解: 解法一 f (x)在[−1,1]区间内有第一类间断点, 因此在[−1,1]区间内不存 在原函数, 不能用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有 ∫− = ∫− +∫ 1 0 0 1 1 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[−1,0],[0,1]内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785