2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第8章广义积分阶段综合问题 8.1广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函数在有界区间上的 积分(第2类)。 定义81(第一类广义积分)设函数f(x)在2+∞)内的任意有限区间可积,并且极限 imnf(x)d水x存在,则称f(x)在[a,+0)广义积分收敛其广义积分为 A f(x)x= lim af(x)hx,若不收做则称广义积分发散 A→)+∞ 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可积,并且极限 im2f(x)d存在,则称f(x)在[a,b)上的广义积分收做其义积分为 B→>b rof(xdx= lim of(x)da B→b 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: oo f(x)dx= lim 4 f(x)dx A→>-0 rof(x)dx=lim f(x)dx A→a 82收敛性的判断准则 821第一类广义积分收敛性的判断准则 准则8.1若第一类广义积分 f(x)ldx收做则f(x)dx-定收此时 称 x)ax绝对收敛 当力f(x)Qx收做,而f(x)d方发歉时称广义积分条件收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -1-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 8 章 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函数在有界区间上的 积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积,并且极限 ∫ 存在, 则称 →+∞ A a A lim f (x)dx f (x) 在[a,+∞)广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx ，若不收敛,则称广义积分发散。 定义8.2 (第二类广义积分)设函数 f (x) 在[a,b)内的任意有限闭子区间可积, 并且极限 ∫ → − B a B b lim f (x)dx存在, 则称 f (x) 在[a,b)上的广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ → − = B a B b b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ →−∞ −∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , ∫ ∫ 。 → + = b A A a b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 ∫ +∞ a f (x)dx 一定收敛, 此时 称 ∫ 绝对收敛. +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 准则8.2(比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 dg(x)x收敛,∫(x)x一定收敛;若∫(x)dx发散 g(x)dx-定发散 准则8.3设f(x),g(x)[a,+0)内的任意有限区间可积,g(x)非负,且 ,则 X→)+∞ gx )当≠O时,广义积分f(x)dx与8(x)dx有相同的敛散性 )当=0时,广义积分8(x)dx收敛则[f(x)dx收敛 当几=∞时,广义积分f(x)dx收敛则g(x)dx收敛 准则84∫一ndx(a>0当P>1时收敛:当p≤1时发散因此,若 limx"f(x)=λ≥0,且Pp>1则∫f(x)dx收敛 x→)+∞ XInx 例81判断x。x的收敛性 x3+1 nx 解:由Im =0,存在X>0,使得当x>X>0时,1nx<x X→)+ √x xinx Xix >1,由直接比较法,收斂 x3+1 x°+1 + arctan x 例8.2判断 dx的收敛性 x√x2+x+1 解:与∫2比较由极限比较法收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 准 则 8.2 (比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 ∫ 收 敛 , 一定收 敛 ; 若 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 发 散 , ∫ 一定发散. +∞ a g(x)dx 准 则 8.3 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有限区间可积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 有相同的敛散性; (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 收敛; (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 收敛. 准则 8.4 dx x a p ∫ +∞ 1 (a > 0) 当 p > 1时收敛;当 p ≤1时发散.因此，若 lim ( ) = ≥ 0,且 ,则 →+∞ x f x λ p x p > 1 ∫ +∞ a f (x)dx 收敛。 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 解: 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x < x ， 1 6 7 , 1 1 ln 5 3 5 = > + < + p x x x x x x ，由直接比较法，收敛. 例 8.2 判断 dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 的收敛性. 解: 与 dx x ∫ +∞ 1 2 1 比较，由极限比较法，收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 例8.3判断 xP1n2的收敛性 x P →>0(x→>+∞),因此P>1时 xP x In x dx x"Jn2,收斂 B dx P=1时, =im e xIn- x B→+∞ In x P<1时,与/ar 比较 可知Im 因此答案为P≥1时收敛,p<1时发散 822第二类广义积分收敛性的判断准则 准则7.6若第二类广义积分!f(x)dx收敛,f(x)dx一定收敛,此时称 hf(x)d绝对收敛,f(x)dx收敛而!f(x)d方发散则称广义积分 条件收敛 准则8.6(比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,b),若 g(x)x收敛,(f(x)dx 定收敛;若 hf(x)x发散 ro g(x)dx 定发散 准则8.7函数f(x),g(x)在[a,b内的任意区间上可积,g(x)非负,且 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 8.3 判断 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 的收敛性. 解 : = → ( ) x → +∞ x x x x p p 0 ln 1 ln2 2 ， 因 此 p > 1 时 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 收敛. p = 1时， ∫ +∞ →+∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e = − B B e x x x dx 1 ln 1 lim ln2 ， p < 1时，与 ∫ +∞ e x dx 比较， 可知 x n x p x 1 2 1 lim − →+∞ = +∞ ， 因此答案为： p ≥ 1时收敛， p < 1时发散。 8.2.2 第二类广义积分收敛性的判断准则 准则 7.5 若第二类广义积分 ∫ b a f (x) dx 收敛, 一定收敛, 此时称 绝对收敛. 收敛而 ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 方发散,则称广义积分 条件收敛. 准 则 8.6 ( 比 较 法 ) 非 负 函 数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,b) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.7 函数 f (x), g(x) 在[a,b) 内的任意区间上可积, g(x) 非负, 且 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 lim f(x) abg(x) ()当≠0时,广义积分!f(x)d与g(x)x有相同的效散性 2)当=0时,广义积分8(x)dx收敛则J0f(x)d收敛 (当2=时,广义积分f(x)收敛则g(x)dx收做 准则(x-=<x当p<1收敛,p≥1时发散,因此,若 im(x-b)f(x)=4≥0,且P<1.则f(x)x收做 x→>b 例89判断广义积分6dx的收敛性 √Snx 解: 0 √Snx x+「x.dx, SInx z√sinx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,dx=dt, ∫z-dhx 丌 at=8-.ax,收敛 vinx 2 sin t sInx co arctan x 例8.10讨论」0 的收敛性 + arctan x 0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 有相同的敛散性; b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛. b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准 则 8.8 dx x b b a p ∫ ( − ) 1 当 p < 1 收 敛 ， p ≥1 时 发散. 因 此 ， 若 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b ,且 p <1,则 ∫ 收敛。 b a f (x)dx 例 8.9 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 解: dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x = ∫ + ∫ π π π 2 20 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x − π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ = −∫ = ∫ 20 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.10 讨论 dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 的收敛性. 解: dx x x p ∫ +∞ 0 arctan 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 arctan ar ctan x ∫=dx+1=n"dx xX arctan 对第一个积分, 与 等价(x→>0 1<1,→p<2收敛 arctan x 对第二个积分 与—进行比阶, lim arctan x X→)+00 P 因此,当P≥q>1时第二个积分收敛。综合上述分析,1<P<2时积分收敛 例81计算」 (++h 解:取变换x=tanl,atr=t 1+t t sec t 1+tant d sint 1 arctan(2sin2.I arctan2例812设 1+sin t 2 常数a>0,若 dx=∫ ,则a 1+x 1+x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 dx x x p = ∫ 1 0 arctan dx x x p ∫ +∞ + 1 arctan 对 第一个 积分， p x arctan x 与 1 1 p− x 等 价 （ ） ， 收敛. x → 0 p −1 < 1, ⇒ p < 2 对第二个积分， p x arctan x 与 q x 1 进行比阶， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > = − →+∞ p q p q x x p q x 2 0 arctan lim π 因此，当 p ≥ q > 1时第二个积分收敛。综合上述分析，1 < p < 2时积分收敛。 例 8.11 计算 ∫ +∞ + + 0 2 2 (1 5 ) 1 1 dx x x 。 解: 取变换 2 1 tan , t dt x t dx + = = ，则 ∫ + = 20 2 1 5tan π sec dt t t I arctan 2 2 1 arctan(2sin ) 2 1 1 4sin sin 2 0 20 2 = = + = ∫ π π t t d t 例 8.12 设 常数a > 0,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 0 2 2 1 1 1 1 ,则a = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785