第二节函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、基本求导法则与导数公式 ②0∞
第二节 函数的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、基本求导法则与导数公式 一、函数的和、差、积、商的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则 定理1.函数=l(x)及v=v(x)都在x具有导数 →l(x)及v(x)的和、差积、商(除分母 为0的点外)都在点x可导,且 (1)[v(x)±v(x)y=l(x)±v(x) (2)[(x)v(x)=l(x)w(x)+l(x)v(x) u(x (3) )′a(x)v(x)-l(x)v(x (v(x)≠0) v(x 1(x ②0∞
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v(x) 0)
(1)(ty)y=l± 证:设f(x)=l(x)±w(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h->0 h [(x+h)±v(x+h)]-[(x)±v(x)] m h->0 h -lim u(x+h)-u(x) ±lim v(x+h)-v(x) h->0 h h->0 h l(x)±y(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如 例如,(u+y-w)=+v-w ②0∞
此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u v) = u v f (x) = u(x) v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − → = u (x) v (x) 故结论成立. 例如
(2)(uv=u'v+uv 设f(x)=l(x)(x),则有 f(x)=lim/(x+)-1(x) lin u(x+h)v(x+h-u(x)v(x) h→>0 h h→>0 u(x+)u( v(x+h)+u(x) (x+h)-v(x) m h h l(x)v(x)+u(x)(x)故结论成立 推论:1)(Cu)=Cl’(C为常数) 2)(uvw)=u'vw+uv'w+uvw ②0∞
(2) (uv) = u v +uv 证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立. + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h) − + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu u vw+ uv w+ uvw ( C为常数 )
(3)(4) uy-uy 证:设f(x) 则有 u(x+h u(x f(x)=lim f(x+h)-f(x v(x+h) v(x) m h→>0 h h->0 h u(x+h)-u(x) v(x+h)-v(x) u(x h m h→>0 v(x+h)v(r) u(xv(x-u(xv(x) 故结论成立 C y2(C为常数) ②0∞
推论 h : u(x)v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − + = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) 2 v Cv v C − = ( C为常数 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x =