让1 因imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x=A+a, g(x)=b+B (其中a,B为无穷小) 于是f(x)±g(x)=(A+a)±(B+B) =(AB)+(a+B) 由定理1可知±B也是无穷小,再利用极限与无穷小 的关系定理,知定理结论成立 证明2略 ②0∞
证1、 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略
3 因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a,g(x)=B+β,其中a,B为无穷小 设 f(x)AA+a A (Ba-AB g(x)BB+BBB(B+B)无穷小 有界 因此y为无次,J(x)A 8(x)B tr 由极限与无穷小关系定理,得nf(x)_A_limf(x) g(x)b ling(r) ②0∞
证3、 为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小