2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第7章定积分的应用综合例题 7.1定积分应用的两种思想 定积分问题的持征: 解决定积分应用问题的两种思路 元素相加法:利用定积分定义一个量。 分小取近似:△≈f(x 求和取极限: I=lim∑f()Ax=f(x)tx 凡→>0i=1 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分:△≈d7=f(x) 积分求增量:I=∫f(x)lx=F(b)-F(a) 7.2定积分在几何方面的应用 7.2.1平面区域的面积 1.直角坐标系中平面区域的面积 设f(x),8(x)在区间[a,b上可积,则区域 D={x1y)a≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)} 的面积为A=2[g(x)-f(x)]t :若连续函数f(x)在区间6上变号,则A=f(x)lx表示正负面积的代数和 有时称为代数面积。 例71求y=与y=x+一围成的面积 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 1-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 7 章 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分问题的持征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( )i i ∆I ≈ f ξ ∆x ; 求和取极限: = ∑ ∆ = ∫ → = b a n i i i I lim f ( ) x f (x)dx 0 1 ξ λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ∆I ≈ dI = f ( ) x dx ; 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) . b a = ∫ = − 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 1.直角坐标系中平面区域的面积 设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x) 的面积为 = ∫ [ ] − 。 b A a g(x) f (x) dx 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和， 有时称为代数面积。 f (x) [a,b] = ∫ b A a f (x)dx 例 7.1 求 2 2 x y = 与 2 3 y = x + 围成的面积. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 由 y-2,解得交点a=-1,b=3 y=x+ x 16 A x 例72求非负常数a,使y=x-与y=所围封闭区域之面积为 解]当0<a<1时l-a 6(x-x2 9 ax)dx <0(舍) 当a≥1时,j1(x-x2-ax)x=,a=1+ 2.参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 x=x(t L (a≤t≤)确定,其中x(t),y()连可导, y y(1)≥0,则区域的面积为A=y(t)x(t)dt 例73求椭圆—+ 1围的区域的面积 解:解法一第一象限部分的边界为 0≤x≤3, 3 A=4=9-x2ax=242c0s2t=6丌 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 2-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解: 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 3 2 2 y x x y ，解得交点a = −1,b = 3。 3 16 2 2 3 3 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫− + − dx x A x 。 例 7.2 求非负常数 a ，使 与 2 y = x − x y = ax所围封闭区域之面积为 4 9 。 [解] 当0 < a < 1时， 4 9 ( ) 1 0 2 ∫ − − = −a x x ax dx ， 0 2 3 1 3 a = − < （舍） 当a ≥1时， 4 9 ( ) 0 1 2 ∫ −a x − x − ax dx = ， 3 2 3 a = 1+ . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = = α t β y y t x x t L ( ) ( ) : 确 定 , 其 中 连续可 导 , , 则区域的面积为 x(t), y(t) y(t) ≥ 0 ∫ = ′ β A α y(t)x (t)dt 。 例 7.3 求椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 围的区域的面积. 解:解法一 第一象限部分的边界为 9 , 0 3 3 2 2 y = − x ≤ x ≤ , π π 9 24 cos 6 3 2 4 2 0 1 2 0 2 A = ∫ − x dx = ∫ tdt = 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解法二椭圆— 1的参数方程为 x=3cost,y=2sint,0≤t≤ a=4o ydx=4r y(tdx(t)=4r2sint(-3sint )dt=6Z 2 3极坐标系下区域的面积 设区域D为Gx= p cos p,y=psmn D={x,y)≤qsB0≤p≤m(0) 则其面积为A=p2()d 例74求心形线F =a(1+cosq)(a>0)所围的面积 解: 32r2()=b() 4a2cos4do=8a2原cos4tt=3m2例15已知曲线 y=a√x(>0)与曲线y=1n√x在点(x0,y0)处有公切线 (1)求常数a及切点之坐标值 2)求上述二曲线与x轴所围图形的面积 [解](1)由 axo=mnx,解得a=e,切点为 2√x2x (e2,1 (2)面积为 A=6axx-∫ln√xx 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解法二 椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 的参数方程为 4 3cos , 2sin , 0 π x = t y = t ≤ t ≤ ， = ∫ = ∫ 0 2 3 0 4 4 ( ) ( ) π A ydx y t dx t 4 π 2sin ( 3sin ) 6π 0 2 = ∫ t − t dt = 3.极坐标系下区域的面积 设区域 D 为（ x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ） D = { } (x, y)α ≤ ϕ ≤ β,0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ) ， 则其面积为 = ∫ ( ) β A α ρ ϕ dϕ 2 2 1 。 例 7.4 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积. 解: = ∫ = ∫ ( ) π π ϕ ϕ 0 ϕ ϕ 2 2 0 2 ( ) 2 1 A r d r d 2 20 2 4 0 2 4 2 3 8 cos 2 4a cos dϕ a tdt πa ϕ π π = ∫ = ∫ = 例 7.5 已知曲线 y = a x （a > 0）与曲线 y = ln x 在点( , )处有公切线。 0 0 x y (1)求常数 a 及切点之坐标值 (2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积 [解]（1）由 0 2 0 1 2 1 x x a = ， 0 0 a x = ln x ，解得 ，切点为 （ ） −1 a = e ,12 e (2) 面积为 A a xdx xdx e e = ∫ − ∫ 2 2 0 1 ln 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 e e 7.1.2旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法 平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)x轴生的旋持体的体积为 2=2mf2(x)x 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x) 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为Ty=2xzf(x) 例77求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所为平面区域绕x轴及绕y轴旋转 生成的旋转体的体积 Vx=5x2-x2)-x1x=兀 20√2-22 62z(y2-x 15 例78设常数a<1,直线y=aX与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1,他们 与直线x=1所围成的图形面积为S 1)试确定Q的值,使S1+S2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积 解(1)A1=(ax-x2x=a, LX +-a 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b Vx a f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 = ∫ b y a V 2xπ f (x)dx 例 7.7 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 y 轴所为平面区域绕 x 轴及绕 轴旋转 生成的旋转体的体积. y 解: π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 Vx = ∫ −x − x dx = ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − Vy = ∫ − x − x dx = 例 7.8 设常数 ，直线 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们 与直线 所围成的图形面积为 。 a <1 y = ax 2 y = x S1 x = 1 S2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； S1 + S2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 [解]（1） A ax x dx = a = ∫0 − 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 1 2 3 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx = ∫a − = − + 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 a+ 2 当a 时,取到最小值A (2)用小圆台法 (x)1(x)2-(,) 2+1 丌 30 例79求曲线y=nx,(2≤x≤6)上的一条切线,使该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积最小。 [解]设切点为x0,则切线方程为 y=-(x-x0)+nx0,该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积为 16 +Inx.-1 0 l)dx=-+4(lnx-1), 0 当x0=4时,面积最小。切线为y=x-1+n4 例710过点(1,0)作曲线y=√x-2的切线,该切线与上述曲线及x轴围成平面图 (1)求A的面积 (2)求A绕x轴旋转一周所成旋转体体积 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 3 1 2 1 3 1 3 A1 + A2 = a − a + , 当 2 1 a = 时， 取到最小值 6 2 3 1 ) 2 1 A( = − 。 （2） 用小圆台法 ∫ − − ∫ − 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) ] 2 ) ( ) ] [( ) ( 2 [( dx x x dx x x π π π 30 2 +1 = 。 例 7.9 求曲线 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 上 的一条 切线，使 该切线与 直 线 x = 2, x = 6所围成平面图形面积最小。 [解] 设切点为 ，则切线方程为 0 x 0 0 0 ( ) ln 1 x x x x y = − + ，该切线与直线 x = 2, x = 6所围成平面图形面积为 x dx x x ( ln 1) 0 6 2 0 ∫ + − 4(ln 1) 16 0 0 = + x − x ， 当 x0 = 4时，面积最小。切线为 1 ln 4 4 1 y = x − + 。 例 7.10 过点(1,0)作曲线 y = x − 2 的切线，该切线与上述曲线及 x 轴围成一平面图 形 A。 （1）求 A的面积； （2）求 A 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785