第三爷 第十章 林公式及其用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章
格林公式 单连通区域(无“洞”区 4区城D分类夢连通区域(有“河区 D 域D边界L的向域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成函数 P(x,y),Qx,y)在D上具有连续一阶偏导数,则有 oo aP dxdy=Pdx+dy(格林公式) oax ay 或 Ox Oy dxdy=o pdx +ody Dp
L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域多连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, = + D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明:1)若D既是X-型区域,又是y-型区域,且 :/ X E a<x<b O.v1(少)≤xsy2(y) B c≤y≤d v2()80 o a bx dx d dx dxdy= dyl Vi(y) ax =LO(2(v),y)dy-O(i(),y)dy cbe g(x,y)ay e O(r, y)dy CAE O(,y)dy+ CBE EAC Q(r, y)dy
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d = d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q = CBE Q(x, y)dy + EAC Q(x, y)dy − d c Q( ( y), y )dy 1 = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即 Q(x,y)dy① D ax 同理可证 aP ay P(x, y)d da ④、②两式相加得 00 oP 一JDax0 )dxdy =f, Pdx +od
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( ) = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域,如图 D OO OP dxd d ax a D ∑∫D oo oP )dxdy k=1 X O x ∑∫ Pdx+9dy(ODk表示D的正向边界) = Pdx+od 证毕
y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) = − = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d − = = + n k Dk P x Q y 1 d d = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束