第五节函数的微分 一、微分的定义 微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则 四、微分在近似计算中的应用 ②0∞
第五节 函数的微分 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则 四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义
微分的定义 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x0取 得增量Δx时,面积的增量为 △4=(x0+Ax)2-x 04 x 2x0△x+(△x)2 关于x的△x→>0时为x 线性主部高阶无穷小 故△A≈2 称为函数在x0的微分 ②0∞
边长由 一、微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 面积的增量为 0 x x x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 x + x 其
定义:若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=AAx+O(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而A△x称为f(x)在 点x的微分记作d或df,即 dy= AAx 定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)a ②0∞
定义: 的微分, 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微
重要结论: 1、函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(xo),即 dy=f(xo)△x 证:“必要性 已知y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+O(△x) lim by=im(4+(△x) Ax→>0△xAx→>0 △ 故y=f(x)在点x的可导,且∫(x0)=A
1、函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 重要结论：
2、函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f"(x0),即 dy=f(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x0的可导,则 △ Im f(x0) Ax→>0△x △ =f(xo)+a( lim a=0) △x->0 故△y=f(xo)Ax+a△x=f(x0)△x+O(△x) 线性主部((x0)≠O时) 即dy=f(x0)△x
2、函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则