第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家Fema在研究 极值问题中提出 微积分学的创始人:英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学∫数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) ②0∞
第二章 导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 英国数学家 Newton 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节导数概念 一、引例 二、导数的完义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 ②0∞
第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系
引例 (-)变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t) 则10到t的平均速度为 f(t)-f(t0) 自由落体运动 而在t时刻的瞬时速度为 f(t)-f(t0) f(0)f( O ②0∞
一、 引例 （一） 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 0 t s o ( )0 f t f (t) t 2 2 1 s = gt 自由落体运动
(二)切线问题 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y=f(x 一割线MN的极限位置MT (当q→>Q时) 切线M的斜率 k= tan a= lim tan f(x)-f(x0) 割线MN的斜率tang=x k: lim f(x-f(xo) x→)x X-x ②0∞
（二）切线问题 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x
二、导数的定义 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 # lim f(x)-f( o) lim Ay 4y=f(x)=f(xo) x→>x △x→>0△x △x=x-X 存在,则称函数f(x)在点x处可导,并称此极限为 y=f(x)在点x的导数记作 dy df(x) dxx=x dx x=xo 即y1x=x=/(x)=nNy x→>0△x lin 5(xo+Ax)-f(ro) f(o+h-f(xo) Im △x->0 △x h>0 ②0∞
二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x = →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y = ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y = ( ) 0 = f x x y x = →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数