第六节极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 ②0∞
第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、 两个重要极限 一、极限存在准则
极限存在准则 (一)夹逼准则 1、(1)yn (n=1,2 lim.=a (2)lim yn= lim C n→0 n→0 证:由条件(2),VE>0,彐N1,N2, 当n>N1时,yn-a<当n>N2时,2n-a<6 令N=max{N1,N2},则当n>N时,有 a-e<yn<a+8, a-8<En<ate 由条件(1)a-E<yn≤xn≤En<a+E 即xn-a<E,故 lim x=a ②0∞
一、极限存在准则 y zn a n n n = = → → (2) lim lim （一） 夹逼准则 (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n xn a n = → lim 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 1
2、 如果(1)当x∈(xn2r)(或|x>M)时 g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A -x 那么lmf(x)存在,且等于A x→0 ②0∞
2、 (1)当x(x0 ,r)(或| x | M)时 g(x) f (x) h(x) 如果 lim g(x) A, lim h(x) A, 0 0 x x x x = = → → (x → ) （2） (x → ) lim f (x) 0 x→x (x → ) 那么 存在，且等于A
例、证明lmn ∴ n>0(n2+丌n2+2 n2 n丌 证:利用夹逼准则由 ∴ n-+n丌 n2+mn2+2丌 n+n)n-+兀 且 lim2 lim n->0H+n丌 n→>∞1+ Im n->01-+丌 x2 n→>∞1+ lim n ∴ n)0Qn2+n2+2丌 n+n7 ②0∞
例、证明 证: 利用夹逼准则 . + + + + + n + n n n n 2 2 2 1 2 1 1 + 2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n + = → =1 n n→ lim + + + + + n + n n n 2 2 2 1 2 1 1 =1 由
二、单调有界数列必有极限 M lim x=a(≤M) x单调增加 XX C nn ≥x)≥…≥xn≥ n+1 ≥m b(≥m) m b x单调减少 证明略)
二、 单调有界数列必有极限 lim x a ( M ) n n = → lim x b ( m ) n n = → ( 证明略 ) a 单调增加 b 单调减少