2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 基础部分 第一课微积分 第4章微分学基本定理及应用 4.1引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数y=f(x)在莱点x处取 得极值的问题.函数y=f(x)在x=x0处取得极值(应该说是局部极 值 微观性态)的基本事实是在x=x0处的函数增量 4f(x0)=f(xo+△x)-f(x0)在x0附近(或着说两侧) 为定号,即恒为正或恒为负。 以在x0处取得极大值情况来分析y=f(x)在x0附近(莱 N(x0,O)邻域)的微观性态如下 设∫(x)在x0处可导,在x0处取得极大值,即在N(x0,O)内的 任意x处应有f(x)≤∫(x),由此可知 Af=f(x)-f(x0)≤0.即在N(x,6)内偏离x0时 函数f(x)取值会变小,于是可知 f f(xo+ax)-f(o) 若x> 由极限的保序性便得到 ≤0,f(x0)≤ x→)0+△y Af f(x)-f(x( 当x<X 则 X-x △f 0.f(x)≥0 0△x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 4 章 微分学基本定理及应用 4.1 引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数 y = f (x) 在某点 处取 得极值的问题。函数 0 x y = f (x) 在 0 x = x 处取得极值(应该说是局部极 值—— 微观性 态)的基 本事实 是 在 0 x = x 处 的函数 增 量 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 在 附近(或者说两侧) 为定号，即恒为正或恒为负。 0x 以 在 处 取 得极大值 情况来分 析 0x y = f (x) 在 附近(某 0x ( , ) N x0 δ 邻域)的微观性态如下： 设 f (x)在 处可导，在 处取得极大值，即在 0x 0x ( , ) N x0 δ 内的 任 意 x 处 应 有 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ， 由 此可知 ∆f = f (x) − f (x0 ) ≤ 0，即在 ( , ) N x0 δ 内偏离 时， 函数 0x f (x)取值会变小，于是可知： 若 ，0 x > x 0 ( ) ( ) 0 0 0 ≤ − + ∆ − = ∆ ∆ x x f x x f x x f 。 由极限的保序性便得到 lim 0 0 ≤ ∆ ∆ → + ∆ x f x ， ( ) 0 。 0 f+ ′ x ≤ 当 ， 则 0 x < x 0 ( ) ( ) 0 0 ≥ − − = ∆ ∆ x x f x f x x f 。 lim 0 0 ≥ ∆ ∆ → − ∆ x f x ， ( ) 0， 0 f− ′ x ≥ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 于是我们有f(x0)≥0并且∫(x0)≤0.由此断定 f(o)=0 这便是费马定理的结论 由费马定理可以直接导出导数零点定理,并且可以导出其余几个微分学基本定理 4.2微分中值定理 定理4.1费马定理〔 Fermat定理,可导函数取得极值的必要条件) 设J(x)满足:1°在某邻域N(x0,6)内有定义,并且 Vx∈N(x,δ)有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0);2 在x0处可导,则∫(x0)=0. 例4.1证明导数零点定理 导数零点定理设函数y=f(x)在[a,b]上可导,并且 ∫(a)∫(b)<0.则必彐x∈(a,b),使得 f(x0)=0(在x处有水平切线) 路:f(x)在a,b两点异号,若∫(a)<0,由局部增减性, 则f(x)在X=a处减少,所以X=不是f(x)的最小值点:而 ∫(b)>0,f(x)在x=b处增加则x=b亦不是最小值点 因此可导函数f(x)必有最小值点x0∈(a,b),再由费马定理,即有 f(x0)=0 证:设∫(a)<0且(b)>0(另—情况请读者完成证明,即有 f(x-f(a <0, x→)a d-a 按极限定义,VE1>0,彐61>0,使当0<x-a<1时 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 于 是 我们有 并 且 。 由此断定 ，这便是费马定理的结论。 ( ) 0 0 f ′ x ≥ ( ) 0 0 f ′ x ≤ ( ) 0 0 f ′ x = 由费马定理可以直接导出导数零点定理，并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理 定理 4.1 费马定理(Fermat 定理，可导函数取得极值的必要条件) 设 f (x) 满足：1° 在 某邻域 ( , ) N x0 δ 内有定义，并且 ( , ) ∀x ∈ N x0 δ 有 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x (或 ( )) 0 ≥ f x ；2° 在 处可导，则 。 0x ( ) 0 0 f ′ x = 例 4.1 证明导数零点定理 导数零点定理 设 函 数 y = f (x) 在 [a,b] 上可导，并且 f+ ′(a) f− ′(b) < 0 。则必 ( , ) ∃x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0(在 处有水平切线)。 0 f ′ x = 0 x 思路： f ′(x) 在a,b 两点异号，若 f+ ′(a) < 0 ，由局部增减性， 则 f (x) 在 x = a 处减少，所以 x = a 不是 f (x) 的最小值点：而 f ′(b) > 0, f (x) − 在 x = b 处增加，则 x = b 亦不是最小值点。 因此可导函数 f (x) 必有最小值点 ( , ) x0 ∈ a b ，再由费马定理，即有 f ′(x0 ) = 0。 证：设 f+ ′(a) < 0 且 f− ′(b) > 0(另一情况请读者完成证明)，即有 0 ( ) ( ) ( ) lim < − − ′ = → + + x a f x f a f a x a ， 按极限定义，∀ε 1 > 0，∃δ 1 > 0，使当0 < − a < δ 1 x 时 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 有 f(a)-61< f(x)-f(a a)+E 取E1 f(a)>0,则有 f(x-f(a<f( +(a(x-a)<0 即∫(x)<∫(a),因此∫(a)不是f(x)在[a,b]上的最小值 另外又有∫(b)>0,则VE2>0.彐δ2>0,使当 0<b-x<2 2时必有 f(b)-E2< f(x)-f(b) ∫(b)+E2 特别取E ∫(b)>0,则有 f(x)-f(b)<∫(b)(x-b)<0 即f(x)<∫(b)因此∫(b)亦不是f(x)在[,b]上的最 小值 因为∫(x)在[a,b]上可导,则必连续,由最大最小值定理,特别必有, 使得∫(x0)为f(x)在[a,b]上的最小值,而且 x≠a,X0≠b,即存在x∈(an,b),由费马定理,必有 f'(x0)=0 定理42罗尔定理o01l)设函数y=/(x)满足:1在[a,b]上连续, 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 3-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 有 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ε < ′ + ε − − + ′ − < f+ a x a f x f a f a 。 取 ( ) 0 2 1 ε 1 = − f+ ′ a > ，则有 ( )( ) 0 2 1 f (x) − f (a) < f+ ′ a x − a < ， 即 f (x) < f (a) ，因此 f (a) 不是 f (x)在[a,b]上的最小值。 另外又有 f− ′(b) > 0 ，则 ∀ε 2 > 0 。 ∃δ 2 > 0 ，使当 0 < − < δ 2 b x 时必有 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ε < ′ + ε − − − ′ − < f− b x b f x f b f b 。 特别取 ( ) 0 2 1 ε 2 = f− ′ b > ，则有 ( )( ) 0 2 3 f (x) − f (b) < f− ′ b x − b < 即 f (x) < f (b) 。因此 f (b) 亦不是 f (x)在 上的最 小值。 [a,b] 因为 f (x)在 上可导，则必连续，由最大最小值定理，特别必有， 使 得 [a,b] ( ) 0 f x 为 f (x) 在 上的最小值，而 且 ， 即 存 在 [a,b] x0 ≠ a, x0 ≠ b ( , ) x0 ∈ a b ， 由 费 马 定 理 ， 必 有 f ′(x0 ) = 0。 定理 4.2 罗尔定理(Rolle) 设函数 y = f (x)满足： 1° 在[a,b]上连续； 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 b 2(a,b)内可导 f(a)=∫(b) 则三与∈(a,b),使∫(5)=0(即在x=5处有水平切 线 【证】f(x)在[a,b]上连续,则必在上取得最大最小值,因为 f(a)=∫(b),若f(x)的最大最小值在ab端点取得,则 f(x)≡C,Vx∈[a,b]均有∫'(x)=0.否则,f(x) 的最大最小值中至少有二者之一在[a,b]内部取得,不设, 使得∫()=maxf(x),又因为f(x)在可导,∫(与)必 ∈{a,b 为(anb)内的极大值点,由 费马定理,得到∫(5)=0. 注:罗尔定理及前面的导数零点定理的命题形式均为有水平切线的充分条件。不满 足这两个定理的条件时,结论也可能成立。 定理43拉格朗日微分中值定理( agrange)设f(x)满足 1在[a,b]上连续;2在(b内可导 则三5∈(a,b)使得f∫'(2)= f(o)-f(a 【证】设 b 点A(a,f(a)与点B(b,f(b)之间的弦为AB,则 f(b)-f(a K AB的直线方程为 6-a AB y(x)-f(a)= f(6)-f(a x-a), 取辅助函数 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 4-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2° (a,b)内可导； 3° f (a) = f (b)。 则 ∃ξ ∈(a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0(即在 x = ξ 处有水平切 线)。 【证】 f (x) 在 [a,b] 上连续， 则必在上 取得最大 最小值， 因 为 f (a) = f (b) ， 若 f (x) 的 最 大最小值 在 [a,b] 端点取 得 ， 则 f (x) ≡ C ，∀x ∈[a,b]均有 f ′(x) = 0。否则， f (x) 的最大最小值中至少有二者之一在[a,b]内部取得，不妨设， 使得 ( ) max ( ) [ , ] f f x x∈ a b ξ = ，又因为 f (x)在可导， f (ξ ) 必 为(a,b)内的极大值点，由 费马定理，得到 f ′(ξ ) = 0。 注：罗尔定理及前面的导数零点定理的命题形式均为有水平切线的充分条件。不满 足这两个定理的条件时，结论也可能成立。 定理 4.3 拉格朗日微分中值定理(Lagrange) 设 f (x) 满足 1° 在[a,b]上连续；2° 在(a,b)内可导。 则∃ξ ∈(a,b)使得 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ ) 【证】 设 点 A(a, f (a)) 与 点 B(b, f (b)) 之 间的弦为 AB ， 则 KAB b a f b f a = − ( ) − ( ) ， AB 的 直 线 方 程 为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y x f a − − − − = ， 取辅助函数 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 F(x=f(x)-y(x =f(x)-f(a) f(o)-f(a (x-a) b 则F(x)在[an,b]上满足罗尔定理的条件,且 F(a)=0,F(b)=0.于是三∈(an,b) F'(2)=0,即f(5) f(o)-f(a) b 注1:拉格朗日微分中值定理是罗尔定理(Ro1le)的进一步拓展,证明方法是通过引 入辅助函数,构造罗尔定理的条件,从而得到结果。并且(.1)式可有如下等价表 达式 f(b)-f(a)=f(2)b-a) f(a+b(b-a)(b-a),(0<6<1) f(x)=f(x0)+f(5)(x-x0) f(xo+h)=f()+ f(sh 注2:微分中值定理的证明是先引入辅助函数,以创造应用罗尔定理的条件,导出 结论。 注3:由微分中值定理可直接得出4个推论如下 推论1:若Vx∈(a b)恒有f(x)=0,则f(x)=C,其中 C为常数。 推论2若Vx∈(a,b)有(x)=g(x),则在(a,b)内必 有∫(x)=8(x)+C,当且仅当两曲线y=f(x)与 y=g(x)有一个公共点(x0,y0),x0∈(a,b)时,有 f(x=g(x) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 5-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 F(x) = f (x) − y(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f a − − − = − − 则 在 上 满 足罗尔 定理的 条件， 且 ，于是 F(x) [a,b] F(a) = 0, F(b) = 0 ∃ξ ∈(a,b)， F′(ξ ) = 0，即 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ ) 。 注 1：拉格朗日微分中值定理是罗尔定理(Rolle)的进一步拓展，证明方法是通过引 入辅助函数，构造罗尔定理的条件，从而得到结果。并且(4.1)式可有如下等价表 达式 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) = f (a +θ (b − a))(b − a) ，(0 < θ < 1)； ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f ′ ξ x − x f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′(ξ )h 注 2：微分中值定理的证明是先引入辅助函数，以创造应用罗尔定理的条件，导出 结论。 注 3：由微分中值定理可直接得出 4 个推论如下： 推论 1：若∀x ∈(a,b)恒有 f ′(x) = 0，则 f (x) = c ，其中 c 为常数。 推论 2：若∀x ∈(a,b)有 f ′(x) = g ′(x) ，则在 内必 有 (a,b) f (x) = g(x) + c 。当且 仅 当 两 曲 线 y = f (x) 与 y = g(x) 有一个公共点 ( , ), ( , ) x0 y0 x0 ∈ a b 时，有 f (x) = g(x) 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785