例2证明数列x=V3+V3+...+V3(n重根式）的极限存在证显然x+1>x，：{x,}是单调递增的;又: x = V<3, 假定×x<3, X+1 = /3+x<V3+3<3,.(xn)是有界的；. limx,存在n-S: Xn+1 = /3+x,, x++ =3+Xn,lim x+ = lim(3 + xn),n-0n>00A =3+A 解得 A= I+V4_1-V/13(舍去)221+/13..limx, =2n-00
例 2 3 3 3 ( ) . 证明数列 重 根 式 的 极 限 存 在 n x n 证 1 显 然 , n n x x 是 单 调 递 增 的 ; n x 1 又 x 3 3, 假 定 3, k x 1 3 k k x x 3 3 3, 是有界的 ; n x lim . n 存在 n x 1 3 , n n x x 2 1 3 , n n x x 2 1 lim lim(3 ), n n n n x x 2 A A 3 , 1 13 1 13 , 2 2 解 得 A A (舍去 ) 1 13 lim . 2 n n x
两个重要极限RAD二、1sinx1. lim=1Ax-0 x证：当xE(0,）时，△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<AAOD的面积即1sinx<ix<1tanx故有(0<x<)sinxcOSxsinx(0<|x|<)显然有COSXXsinxlim下面再证明：limcosx=1.二-0X-0x
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 π x x x x ( 0 , ) 2 π x 时， (0 ) 2 π 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 O B A x 1 D C