△sB △a O X O u W-Wb_f(z)-f(0)pe△op△sa(=0) 0 0 10△s△O △ 得|f(z0)=im 2→>20△S (6.1.3) 此极限值称为曲线C在z的伸缩率
12 此极限值称为曲线C在z0的伸缩率. O x y O u v z0 P0 r z Ds P C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Ds (6.1.3) Δ Δ | ( )| lim e Δ Δ Δ Δ e ( ) ( ) e 0 0 ( ) 0 0 0 0 s f z r s z z r s f z f z z z w w z z i i i s s r s r → − = = = − − = − − 得
(61.3)表明: 丿(2)是经过映射w=f(2)后通过点z0的任何曲线 C在z的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关 所以这种映射又具有伸缩率的不变性
13 (6.1.3)表明: |f '(z)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线 C在z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性
定理一设函数=(z)在区域D内解析,z为D内 的一点,且f"(z0)≠0,则映射w=f(z)在2乙0具有两个 性质: 1)保角性即通过z0的两条曲线间的夹角跟 过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向 上保持不变 2)伸缩率的不变性.即通过z的任何一条曲线 的伸缩率均为f(z0)而与其形状和方向无关
14 定理一 设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内 的一点, 且f '(z0 )0, 则映射w=f(z)在z0具有两个 性质: 1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经 过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向 上保持不变 2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线 的伸缩率均为|f '(z0 )|而与其形状和方向无关
2.共形映射的概念 定义设函数w=f(z)在z的邻域内是一一的,在 具有保角性和伸缩率不变性,则称映射=/(z) 在z是共形的,或称w=2)在z是共形映射.如 果映射≠=fz)在D内的每一点都是共形的,就 称w=f(z)是区域D内的共形映射
15 2. 共形映射的概念 定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的, 在 z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w=f(z) 在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形映射. 如 果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的, 就 称w=f(z)是区域D内的共形映射
定理二如果函数w=f(z)在乙解析,且f(z)≠0, 则映射=(z)在z是共形的,而且Argf"(z0)表 示这个映射在z0的转动角,f(z0)表示伸缩率 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f(z)≠0,则映 射w=f(z)是D内的共形映射
16 定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, 且f '(z0 )0, 则映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0 )表 示这个映射在z0的转动角, |f '(z0 )|表示伸缩率. 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f '(z)0, 则映 射w=f(z)是D内的共形映射