1解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z) 在区域D内解析,z为D内的一点,且f(z0)≠0 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲 线,它的参数方程是 z(1),∝≤<B, 它的正向相应于参数增大的方向,且z0=2(40 z(0)≠0,∝<1B.则映射w=f(z)将C映射成w平 面内通过点z0的对应点w=(z0)的一条有向光 滑曲线,它的参数方程是 =[z()],∝≤≤B 正向相应于参数增大的方向
7 1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z) 在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f '(z0 )0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲 线, 它的参数方程是: z=z(t), atb, 它的正向相应于参数t增大的方向, 且z0 =z(t0 ), z '(t0 )0, a<t0<b. 则映射w=f(z)将C映射成w平 面内通过点z0的对应点w0 =f(z0 )的一条有向光 滑曲线G, 它的参数方程是 w=f[z(t)], atb 正向相应于参数t增大的方向
△sB △ O X O u 根据复合函数求导法,有 W'(to)f"(z0)z(to)≠0 因此,在P上点形处也有切线存在,且切线正 向与轴正向的夹角是 Arg w(to)=Argf(zo+Arg z'(to
8 根据复合函数求导法, 有 w '(t0 )=f '(z0 )z '(t0 )0 因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正 向与u轴正向的夹角是 Arg w '(t0 )=Arg f '(z0 )+Arg z '(t0 ) O x y O u v z0 P0 r z Ds P C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Ds
Arg w(to)-Arg z(to)=Arg.f(zo)(6.1.1) 如果假定x轴与轴,y轴与轴的正向相同,而 且将原来的切线的正向与映射过后的切线的 正向之间的夹角理解为曲线C经过w=(2)映射 后在2处的转动角,则(6.1.1)式表明 1)导数/(z)≠0的辐角Argf(z0)是曲线C经过 W=f(z)映射后在z处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关.所以这种映射具有转动角的不变性
9 即 Arg w '(t0 )−Arg z '(t0 )=Arg f '(z0 ) (6.1.1) 如果假定x轴与u轴, y轴与v轴的正向相同, 而 且将原来的切线的正向与映射过后的切线的 正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射 后在z0处的转动角, 则(6.1.1)式表明: 1)导数f '(z0 )0的辐角Arg f '(z0 )是曲线C经过 w=f(z)映射后在z0处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 所以这种映射具有转动角的不变性
O 通过z点的可能的曲线有无限多条,其中的每 条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲 线在w点都转动了一个角度Argf(z0)
10 通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每 一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲 线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0 ). O x y O u (z) v (w) z0 w0
O 相交于点z的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角,在其大小和方向上都等同于经w=(z)映射 后C1与C2对应的曲线1与/2之间的夹角,所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质这种性质称为保角性
11 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射 后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, 所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质.这种性质称为保角性 O x y O u v (z) (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2