所以u(x,y),v(x,y)在点(xr,y)处可微 "<"(由函数u(xy),(xy)在点(x,y处可微及满足 CR方程→f(x)在点z=+j处可导) u(x,y),vx,y)在(x,y)点可微,即: au Ax+Ay+E1△x+E24y Q0a Ar+=4y+&34x+E,4y 其中lmk=0,(k=1,2,3,4) △x→>0 △y→>0
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导） "" ∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： y x y y u x x u u + + + = 1 2 y x y y v x x v v + 3 + 4 + = lim 0,( 1 2,3,4) 0 0 其 中 = = ， → → k k y x
f(z+△x)-f(x)=△+i au av au av (x+i)Ax+(+i)+(61+i63)x+(62+il 由C-R方程OuOv i)+(1+i3)Ax+(62+iE4) ax ∫(z-△z)-∫(z)a,,On △ +ix+(61+i)+(62+i4) △ az ax |1, 1 (E1+iE3) △x △ f(x+△x)-f(z)On,.On 十 △z→>0 △z axax
y i x i y y v i y u x x v i x u f z z f z u i v + + + + + + + = + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 z i x i y x v i x C R u + + + + + = − ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 由 方 程 | | 1, | | 1 ( 1 + 3 ) → 0 i z x z y z x x v i x u z f z z f z f z z + = + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 z y i z x i x u i z u z f z z f z + + + + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4
定理2函数f()=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是u(x,y)和vx,y)在D内可微,且 满足 Cauchy- Riemann方程 o0vνOu ax ay ax ay 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系当一个函数可导时仅由其实部或虚部就可 以求出导数来 利用该定理可以判断那些函数是不可导的
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 y u x v y v x u = − = 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的
使用时:i)判别u(x,y),v(x,y)偏导数的连续性, i)验证CR条件 au. av 1 au av i)求导数:f(z)= L ax ax i ay ay 江前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的,但是求复变函数的导数时要注意并不是两个 实函数分别关于x求导简单拼凑成的
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： y v y u x i v i x u f z + = + = 1 '( ) 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的
二.举倒 例1判定下列函数在何处可导,在何处解析: (1)w=z;(2)f(z)=e ( cos y+isin y);(3)w=>e 解(1)设zx+w=xu=x,w=y则 0 ax a O 0 Ox ay ax 故w=z在全平面不可导,不觚斤
二. 举例 2 (1)w z; (2) f (z) e (cos y isin y) (3)w z x = = + ； = 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则 故 w z在全平面不可导，不解析 。 y v x u y v x v y u x u = = − = = = 0 1 1 0