数据插值 多项式插值问题的一般提法 ·插值多项式的唯一性 ·拉格朗日插值的基函数构造法 ·插值余项 ·分段插值
数据插值 • 多项式插值问题的一般提法 • 插值多项式的唯一性 • 拉格朗日插值的基函数构造法 • 插值余项 • 分段插值
§4.2拉格朗日(Lagrange)插值 求n次多项式Pn(x)=a,+a,x+.+anx”使得 Pn(x;)=y:,i=0,.,n 条件：无重合节点，即i≠方→x:≠) 一.插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1：在n+1个互异节点x.处满足插值条件 Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n) 的次数不超过n的多项式Pn(x)存在且唯一。 证明：代入插值条件得： ao axo+.+a=o o+a1X1+.+anx”=y1 ao +axn+.+ax=
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 Pn ( xi ) = yi , i = 0, . , n 求 n 次多项式 使得 n Pn (x) = a0 + a1 x ++ an x 条件：无重合节点，即 i j xi x j . : 1 ( ) ( 0,1,2,., ) ( ) k n k k n n x P x y k n n P x + = = 一 插值多项式的存在唯一性 在 个互异节点 处满足插值条件 的次数不超过 的多项式 存在且唯一。 定理4.2.10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 : : . . . . n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y + + + = + + + = + + + = 证明 代入插值条件得
系数行列式是Vandermonde行列式： =Π(x,-x)≠0， 0sj<i<n 故由Cramer法则知，该方程组解存在唯一， 即多项式（系数）存在唯一。 注：这样求Lagrange?插值多项式计算量大，不便于实际应用。 一次多项式插值-过两点直线。 二次多项式插值-过三点抛物线。 若不将多项式次数限制为，则插值多项式不唯一
0 0 1 1 0 Vandermonde : 1 1 ( ) 0 1 n n i j j i n n n n x x x x x x x x = − 系数行列式是 行列式 ， 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 一次多项式插值 - 过两点直线。 二次多项式插值 - 过三点抛物线。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 ramer ( ) 故由C 即多项式 系数 存在唯一。 法则知,该方程组解存在唯一