主要内容 ·矩阵特征值的概念与性质 ·幂法求取特征值与特征向量 ·反幂法求取特征值与特征向量 ·原点平移法 ·雅克比方法求特征值
主要内容 • 矩阵特征值的概念与性质 • 幂法求取特征值与特征向量 • 反幂法求取特征值与特征向量 • 原点平移法 • 雅克比方法求特征值
特征值与特征向量的概念 所谓阶矩阵A的特征值与特征向量指，如果数2和非零 列向量，满足关系式 Ax=Ax 则数称为A的特征值，非零列向量称为矩阵4与特征值) 对应的特征向量。 .Ax=x台（A-I)x=0,且x为非零向量 A-I=0 特征方程 特征方程的根2(i=1,2,.,n)就是A的特征值。 齐次线性方程组 (A-I)x=0 的非零解就是与对应的特征向量
特征值与特征向量的概念 对应的特征向量。 则 数 称 为 的特征值，非零列向量称为矩阵 与特征值 列向量 ，满足关系式 所 谓 阶矩阵 的特征值与特征向量是指，如果数 和非零 A x A Ax x x A = n ( ) 0 0 − = = − = A I Ax x A I x x ， 且 为非零向量 特征方程的根i (i =1,2, ,n)就 是A的特征值。 ( ) 的非零解 就是与 对应的特征向量。 齐次线性方程组 i i i x A I x − = 0 特征方程
性质： ①如果入是方阵A的特征值，x是对应的特征向量，则 2是A的特征值，x是对应的特征向量。 ②如果入是方阵4的特征值，x是对应的特征向量，则 ax(a≠0)仍然是与对应的特征向量。 (3 如果2是非奇异矩阵4的特征值，x是对应的特征向量 则。是方阵A的特征值，x是A的与，对应的特征向量。 证：Ax=九x,台AAx=A'(x) 元A
是 的特征值， 是对应的特征向量。 （）如果 是方阵 的特征值， 是对应的特征向量，则 性质： i k k i i i A x A x 1 ( ) ( ) i k i i i k i k i k i i i A x A Ax A x A x Ax x −1 −1 −1 = = = = 证 ： i k i A x 2 −2 = i k i 仍然是与 对应的特征向量。 == x （）如果 是方阵 的特征值， 是对应的特征向量，则 i i i i ax a A x ( 0) 2 则 是方阵 的特征值， 是 的 与 对应的特征向量。 （）如果 是非奇异矩阵 的特征值， 是对应的特征向量， i i i i i A x A A x 1 −1 −1 1 3 ( ) i i i i i i i i i x A x Ax x A Ax A x 1 1 1 1 − − − = = = 证 ：
性质： ④设矩阵B=A-pL,如果入是方阵4的特征值， x是对应的特征向量，则 (几-p)是矩阵B的特征值，x是对应的特征向量。 结论1：通过适当选取参蜘总可以构造出矩郸，使得其 特征值的绝对值-p→0。 (⑤)如果矩阵B=A-pI为非奇异矩阵且2是方阵4的特征 值，x是对应的特征向量，则 是矩阵B的特征值，x是对应的特征向量。 2-p 结论2：通过适当选取参狮构造矩阵B,若B存在， 则可使其特征值的绝对值 2-p
( )是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量。 是对应的特征向量，则 （）设矩阵 如 果 是方阵 的特征值， 性质： i i i i p B x x B A pI A − = − 4 , ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i Bx A pI x Ax px x px p x Ax x = − = − = − = − = 证 ： 是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量。 值 ， 是对应的特征向量，则 （）如果矩阵 为非奇异矩阵且 是方阵 的特征 i i i i B x p x B A pI A 1 1 , − − = − 5 则 是方阵 的特征值， 是 的 与 对应的特征向量。 （）如果 是非奇异矩阵 的特征值， 是对应的特征向量， i i i i i A x A A x 1 −1 −1 1 3 特征值的绝对值 。 结 论 ：通过适当选取参数总可以构造出矩阵 ，使得其 − p → 0 B i 1 p 则可使其特征值的绝对值 。 结 论 ：通过适当选取参数构造矩阵 ， 若 存在， → − − p B B i 1 1 2 p
性质： (⑥设，是方阵A的n个特征值，p,p,p依次 是与之对应的特征向量如果2，几，2各不相等，则 P. P,p线性无关。 ()设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩啤，使PAP=B, 则称矩阵A与B相似，且A与B具有相同的特征值（特征 多项式)。 推论：若n阶方阵A与对角阵 相似，则2，入，.，入即是矩阵4的n个特征值
， ， ， 线性无关。 是与之对应的特征向量。如果 ， ， ， 各不相等，则 （） 设 ， ， ， 是方阵 的 个特征值， ， ， ， 依 次 性质： n n n n p p p A n p p p 1 2 1 2 1 2 1 2 6 多项式）。 则称矩阵 与 相似，且 与 具有相同的特征值（或特 征 （） 设 ， 都 是 阶方阵，若有可逆矩阵， 使 ， A B A B A B n P P AP = B −1 7 相似，则 即是矩阵 的 个特征值。 推论：若 阶方阵 与对角阵 A n n A n n , , , 1 2 2 1 =