下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系，不令α2k元+β,kEZ如图，设单位圆于x轴的正半轴相α终边交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边11隧边作角α，β，α-β，它们的终边分别与Pα-β终边单位圆相交于点P(cosa,sina)，pA(cosβ, sinβ), P(cos(a-β), sin(a-β)x0A(1,0)连接A,P，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P,重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与AP重合，从而AP=AP，所以AP=A,P1
下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间 的关系.不妨令α≠2kπ+β, k∈Z. 如图，设单位圆于x轴的正半轴相 交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边 作角α，β ，α-β ，它们的终边分别与 单位圆相交于点P1 (cosα, sinα)， A1 (cosβ, sinβ)，P(cos(α-β), sin(α-β)). 连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着 点O旋转β角，则点A，P分别与点A1， P1重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而 ，所以 AP= A1P1 . AP A P1 1 AP A P = 1 1
根据两点间的距离公式，得cos(α-β)-17 +sin2 (α-β)=(cosα-cos β) +(sinα-sin β)化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsin β当α=2k元+β,kEZ时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角α，β有，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ此公式给出了任意角α，的正弦、余弦与其差角α-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-m）·P(xi, y), P2(x2, y2)平面上任意两点间的距离公式PP2 = /(x2 - x)2 +(y2 - )2
根据两点间的距离公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos sin sin − − + − = − + − 2 2 2 2 1 化简得 cos cos cos sin sin ( − = + ) 当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角α，β有， cos cos cos sin sin ( − = + ) 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之 间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 C( − ) . 平面上任意两点间的距离公式 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 ( , ), ( , ) ( ) ( ) P x y P x y P P x x y y = − + −