故f(β)=0=β()=0=f(-P(β)=0BS例4设，，为x3+x2+x+2的三个根，求x)Q[x)使g(),g(),g()为x)的根其中 g(x)=x2+x+12解法一：！2+++2=0，2++1== g(2)M由韦达公式=，=1，=2++*+f(x)=(x-g(2)(x-g(2)(x-g(2,) = x+ 32月2=x*+ 2x28x4x (4+2+2)+(++)+A=x3-x2 +2x-4(00-2)则解法二：作10A=-1(01-1)fa(x)=xe-A|= x3 -x? +x+2,所以，，,是A的特征根，从而g(),g(),g()是g(A)的特征根，可以取(x)fg(A)(x)-2)02(00(1-20-2g(A)= A + A+2e=01010-2-1+210-160001-10[x-1 22所以-1x=x3-x2+2x-4f(x)=|xE-g(A)l =0-1x000-a...01.-a,"记住：设A=:，那么A的特征多项式为.0-an-20a,-fa(x)=|xE-A=x"+an-Ix"-l +...+a,x+a2ntl例5 设f(x)=a,x在Q上不可约，a2n+0，如果αβ都是x)的根，证明α+β不-14
14 故 ( ) 0 1 ) 1 ( ) = 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( = ϕ β = β β β ϕ β n f f 例 4 设 1 2 3 λ , λ , λ 为 x 3 +x 2 +x+2 的三个根，求 f(x) ∈Q[x]使 1 23 g g g ( ), ( ), ( ) λλλ 为 f(x)的根， 其中 g(x)=x 2 +x+1 解法一： 2 0 2 + i + i + = 3 i λ λ λ ， ( ) 2 1 2 i i i i g λ λ ∴ λ + λ + = − = 由韦达公式 λ1 + λ2 + λ3 = −1，λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3 =1，λ1λ2λ3 = −2 ( ) ( ( ))( ( ))( ( )) λ1 λ2 g λ3 f x = x − g x − g x − + + = + 1 2 3 2 2 2 λ λ λ x x x ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 3 2 4 8 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ x x x = x + + + + + + + 2 4 3 2 = x − x + x − 解法二： 作 − − − = 0 1 1 1 0 1 0 0 2 A ，则 fA(x)=|x∈－A| 2 3 2 = x − x + x + ， 所以 1 2 3 λ , λ , λ 是 A 的特征根，从而 1 23 g g g ( ), ( ), ( ) λλλ 是 g(A)的特征根，可以取 f(x)=fg(A)(x) − − + ∈= − − − + − − − − = + + ∈= 1 0 0 1 0 2 1 2 0 2 0 1 1 1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 2 2 ( ) 2 2 g A A A 所以 f (x) = x∈−g(A) 2 4 1 0 1 2 1 2 0 3 2 = − + − − − − = x x x x x x 记住： 设 1 2 1 00 0 1 0 0 0 1 o n n a a A a a − − − − = − − ，那么 A 的特征多项式为 o n n n f A x = x∈−A = x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ( ) 例 5 设 ∑ + = = 2 1 1 ( ) n i i i f x a x 在 Q 上不可约，a2n+1 ≠ 0，如果α ≠ β 都是 f(x)的根，证明α + β 不
是有理数。证反设α+β=q为有理数，作p(x)=f(q-x)，于是p(α)=f(β)=0而(x)不可约，必有p(x)=f(q-x)，于是p(x)被f(x)整除。而(x)=f(q-x)与f(x)的次数相等，首系相反，得p(x)=-(x)所以J(q-x)+f(x)=0，令x=号代入得22f(号)=0f()=0即x-lf(x)，a(f(x)>2，所以(x)可约，矛盾！思考：若将Q换成一般数域P，是否仍有结论α+βP。例6设f(x)Q[x]且在Q上不可约，α+β为(x)的根，证明α-β不是有理数。证：反设α-βQ，令p=α-β，作(x)=f(p+x)有p(β)=f(α)，故f(x)l(x)，考虑到f(x)，(x)有相同的首项系数及次数，得p(x)=f(x)= f(x)=f(p+x)表明(x)是一个周期函数，与f(x)EQ[x]矛盾！同样，可以从Q推广到一般数域P。定理10f(x)EQ[]，x-1If(x")则x"-1]f(x"）（证略）注意到1)=0，f(s)=0=x-6,1f(x"）.乘积x"-11f(x")推广若f(x)Q[]，(x-a)I(x")，则(x"-a")I(x")证： x-alf(x")= f(a")=0→f(as*)")=0, s=1因ε为n次单位根，故（x-a)If(x）（vo≤k≤n-1)由Po02（*）式，有(x-a°)(x-as)(x-as").(x-as")=(x" -a")f(x")例7 设 f.(x), f(x),-, f,(x)e P[x]g(x) e P[x],且f.(x"*)+ f(x"*l)+..x""f,(x)=(1+x++x")g(x)证明Vi, (x-1)If,(x)15
15 是有理数。 证 反设α + β = q 为有理数，作ϕ(x) = f (q − x) ，于是ϕ(α) = f (β ) = 0 而 f(x)不可约，必 有ϕ(x) = f (q − x) ，于是ϕ(x) 被 f(x)整除。而ϕ(x) = f (q − x) 与 f(x)的次数相等，首系相反，得 ϕ(x) =－f(x) 所以 f (q − x) + f (x) = 0，令 2 q x = 代入得 2 ( ) 0 ( ) 0 2 2 = ⇒ = q q f f 即 | ( ) 2 x f x q − ，∂( f (x))＞2，所以 f(x)可约，矛盾！ 思考：若将 Q 换成一般数域 P，是否仍有结论α + β ∉ P 。 例 6 设 f (x)∈Q[x]且在 Q 上不可约，α ≠ β 为 f(x)的根，证明α − β 不是有理数。 证：反设α − β ∈Q，令 p=α − β ，作ϕ(x) = f ( p + x) 有ϕβ α () () = f ，故 fx x ( )| ( ) ϕ ，考虑到 f (x) ，ϕ(x) 有相同的首项系数及次数，得 ϕ(x) = f (x) ⇒ f (x) = f ( p + x) 表明 f(x)是一个周期函数，与 f (x)∈Q[x]矛盾！ 同样，可以从 Q 推广到一般数域 P。 定理 10 f (x)∈Q[x]， 1| ( ) n x − f x 则 1| ( ) n n x − f x （证略） 注意到 f(1)=0， ( ) 0 | ( ) n i n i ∴ f ε = ⇒ x −ε f x ∴乘积 1| ( ) n n x − f x 推广 若 f (x)∈Q[x]，( )|() n x a fx − ，则( )|() nn n x a fx − 证： | ( ) n x − a f x ⇒ ( ) = 0 ⇒ (( ) ) = 0, n k n f a f aε =1 kn ε 因ε 为 n 次单位根，故 ( )|() 0 1 ( ) n k x a fx k n − ε ∀≤ ≤ − 由 P002（∗）式，有 ( ) 2 1 ( )( )( ) ( ) | ( ) o n nn n x a x a x a x a x a fx ε εε ε − − − − − =− 例 7 设 1 2 ( ), ( ), , ( ) [ ]. [ ] n f x f x f x P x g(x) P x ∈ ∈ ，且 ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 1 2 1 1f x f x x f x x x g x n n n n n n + + = + + + + + − + 证明 , 1| () ( ) i i x f x ∀ −
证设1+x+x*++x"的几个根为,2，0,，它们互不相同，且=1，将它们代入题目中关系式得f(1)+ of2(1)+.+ o-" f.(1)= 0f(l)+o,f.(I)+...+o- f.(l)= 0f.(I)+,f2(1)+..+o"-" f.(I)= 0其系数行列式是一个Vandermonde行列式且非O，得到零解fi(1)= f(1)== f(1)=0即 x-1If(x), Vi（注：此例中取n=2，得P46.26题。）例8若((x)，g(x)=1，则(x)+g(x)的重根也是f(x)2+g(x)的根。证：设x。为其重根，则有(x0)°+g(x0)=0(1)(2)f(x)f'(x。)+ g(x。)g'(x。)=0因为(x)与g(x)互素，由（1）必有(x)±0，g(x)±0由 (2)f(x。)"f'(x。)=g(x。)"g(x。)及 (1) f(x。)=-g(x))得f(x)=-g(x。) = f(x)" f'(x。)+g(x。)g'(x。) =0因此，x。也是f(x)2+g(x)的根。例7设m，n为正奇数且(m，n)=l，证明(x"+1，x+1)=x+1证：：(m，n)=1=3s.tsm+tn=1=s.t一奇一偶。：.S+t为奇数设α为x"+1与x"+1的公共根，那么α"=-1，α"=-1，因此α=αsm+m=(α")s.(α")=(-1)s=-1故x"+1与x+1只有公因式x+1，但它们都无重根，得(x"+1, x"+1) =x+1例10f(x)eZ[x]，a，b，c为奇数，且a)=b，证明fc)≠0证：设f(x)=Zax，(a)=b为奇数→ao，aia，aza，…，ana"中有奇数个奇数i=o→ao，a1，a2，，an中有奇数个奇数=ao，aic，a2c2，"，anc"中有奇数个奇数即c)为奇数，所以fc)≠0。16
16 证 设 1+x+x 2 +.+x n的几个根为 , , , ω1 ω2 ωn 它们互不相同，且 1 1 = n+ ωi ，将它们代入题 目中关系式得 1 1 12 1 1 1 22 2 1 1 2 (1) (1) (1) 0 (1) (1) (1) 0 (1) (1) (1) 0 n n n n n n n n ff f ff f ff f ω ω ω ω ω ω − − − + ++ = + ++ = + ++ = 其系数行列式是一个 Vandermonde 行列式且非 0，得到零解 f1(1)= f2(1)=.= fn(1)=0 即 1| ( ), i x f x i − ∀ （注：此例中取 n=2，得 P46.26 题。） 例 8 若(f(x)，g(x))=1，则 f(x) 2 +g(x) 2 的重根也是 2 2 f ′(x) + g′(x) 的根。 证：设 xo 为其重根，则有 f(xo) 2 +g(xo) 2 =0 （1） f (xo ) f ′(xo ) + g(xo )g′(xo ) = 0 （2） 因为 f(x)与 g(x)互素，由（1）必有 f(xo)≠0，g(xo)≠0 由（2） 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o f x f ′ x = g x g′ x 及（1） 2 2 ( ) ( ) o o f x = −g x 得 2 2 ( ) ( ) o o f x = −g x ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 f xo f ′ xo + g xo g′ xo = 因此，xo 也是 2 2 f ′(x) + g′(x) 的根。 例 7 设 m，n 为正奇数且(m，n)=1，证明 (x m+1，x n +1)=x+1 证：(m，n)=1⇒ ∃ s.t sm+tn=1⇒s.t 一奇一偶。∴s+t 为奇数 设α 为 x m+1 与 x n +1 的公共根，那么αm=－1，αn =－1，因此 α =αsm+tn =(αm) s .(αn ) t =(－1)s+t =－1 故 x m+1 与 x n +1 只有公因式 x+1，但它们都无重根，得 （x m+1，x n +1）=x+1 例 10 f (x)∈Z[x]，a，b，c 为奇数，且 f(a)=b，证明 f(c)≠0 证：设 ∑= = n i i i f x a x 0 ( ) ，f(a)=b 为奇数 ⇒a0，a1a，a2a 2 ，.，anan 中有奇数个奇数 ⇒a0，a1，a2，.，an 中有奇数个奇数 ⇒a0，a1c，a2c 2 ，.，anc n 中有奇数个奇数 即 f(c)为奇数，所以 f(c)≠0
第五讲典型行列式行列式是高等代数中的一个重要概念，也是其它一些学科的重要工具之一。计算行列式是理工本科生的基本技能，做到这点必须掌握和记住某些典型行列式的计算，对这些典型行列式的值应能脱口而出。例1计算n阶行列式b.abbaD() =.b..ba解：将每列加到第一列后、再每行减第一行，得bba+(n-1)b..00a-bo...Da) ==[α +(n-1)b](α-b)"-I...:00a-b例2Vandermonde行列式111:ajazana?a.arV(a,a,..a,.)=(a, -a,)I≤isjSn::::Ja,-1at-q!Vandermonde行列式=0一其中有2列相同。奇数阶反对称行列式的值为0三斜行列式的递推公式法：larbra2bCCa2D, =.a.-bulCu-la.友行列式（companiondeterminant）17
17 第五讲 典型行列式 行列式是高等代数中的一个重要概念，也是其它一些学科的重要工具之一。计算行列式 是理工本科生的基本技能，做到这点必须掌握和记住某些典型行列式的计算，对这些典型行 列式的值应能脱口而出。 例1 计算 n 阶行列式 b b a b a b a b b D (1) = 解：将每列加到第一列后、再每行减第一行，得 1 (1) [ ( 1) ]( ) 0 0 0 0 0 ( 1) − = + − − − − + − = n a n b a b a b a b a n b b b D 例 2 Vandermonde 行列式 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( , , ) − − − = n n n n n n n a a a a a a a a a V a a a ∏≤ ≤ ≤ = − i j n a j ai 1 ( ) Vandermonde 行列式=0⇔ 其中有2列相同。 奇数阶反对称行列式的值为0 三斜行列式的递推公式法： c a b c a c a b a b D n n n n 1 1 2 3 1 2 2 1 1 − − = ∏ ∑ = = = ⋅ − n i n j a b c i o j j i a a 1 1 友行列式（companion determinant）
1元a.元0-1ar元-1a2C(a)=="+a--+..+a,a+a目..0..-1α+an-!计算行列式的方法主要有化三解形，升降阶，归纳逆推等方法。1.化三角形法。例3计算x,-mXnX2...XX2-m:D, =..XnXX2...解：对于行（列）和为定值的行列式可先加到同一列（行）。1X2Xn000-m-..=(m)"-l (x +x2 +.+ x, -m)D,=(x+x +.+x-m)0-m2.按某行（列）展开实现降阶例4（二线行列式）x山0xVD=00xy00xVVy0Xy+ y·(-1)"+1解：D=x·(-1)+I=x" -(-1)" y"川4V有时增加一行（列）便可化为我们熟悉的典型行列式。例5计算18
18 1 2 1 ( ) 1 0 1 1 0 − + − − − = n o a a a a C λ λ λ λ λ o n n n = + a + + a + a − λ − λ 1λ 1 1 计算行列式的方法主要有化三解形，升降阶，归纳逆推等方法。 1．化三角形法。 例3 计算 n m n m n n x x x x x x x m x x D − − − = 1 2 1 2 1 2 解：对于行（列）和为定值的行列式可先加到同一列（行）。 m m x x D x x x m n n n − − = + + + − 0 0 0 0 1 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 m x x xn m n = − ⋅ + + + − − 2．按某行（列）展开实现降阶 例4 （二线行列式） y x x y x y x y D 0 0 0 0 0 = 解： x y x y y y x y x x y D x n 0 ( 1) ( 1) 1 1 1 = ⋅ − + ⋅ − ⋅ + + n n n = x − (−1) y 有时增加一行（列）便可化为我们熟悉的典型行列式。 例5 计算