综上所述,有 定理 设函数w=f(z)在区域D内解析为D内一点 且f(z)≠0,那末映射v=f(z)在具有两个性 质:(1)伸缩率不变性;(2)保角性
综上所述, 有 且 f (z) 0,那末映射w = f (z)在z0具有两个性 质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性． 定理一 ( ) , , 设函数w = f z 在区域D内解析 z0为D内一点
二、共形映射的概念 定义设映射w=f(z)在区域D内任意一点 具有保角性和伸缩率校性,那末称w=f(z) 是第一类保角映射 说明:如果映射w=f(z)具有伸缩率不变性, 但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反, 则称之为第二类保角映射
二、共形映射的概念 定义 是第一类保角映射． 具有保角性和伸缩率不变性，那末称 设映 射 在区域 内任意一点 ( ) ( ) w f z w f z D = = 说明: 如果映射w = f (z)具有伸缩率不变性, 但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反, 则称之为第二类保角映射
由定义,定理一又可以叙述为 定理二 设函数w=∫(z)在区域D内解析,z为D内一点 且∫(z)≠0,那末映射=f(z)是第一类保角映射 定义设ω=f()是区域D内的第一类保角映射, 如果当z12时,有f(x1)(z2)(即双方单值), 则称∫(z)为共形映射
由定义，定理一又可以叙述为 且 f (z) 0,那末映射w = f (z)是第一类保角映射． 定理二 设函数w = f (z)在区域D内解析,z为D内一点, 定义 设ω=f (z)是区域D内的第一类保角映射， 如果当 z1≠z2 时，有 f (z1 )≠f (z2 )（即双方单值）， 则称 f (z)为共形映射．
问题: 关于实轴对称的映射w=z是第一类保角映射吗? 答案:否.将z平面与w平面重合观察, yv 夹角的绝对值相同 (z)≡(w) (a)而方向相反
问题: 关于实轴对称的映射 w = z 是第一类保角映射吗? 答案: 将 z 平面与 w 平面重合观察， y(v) 0 x(u) 1 2 z . C1 C2 z . − 夹角的绝对值相同 而方向相反. 否. (z) (w)
例试求映射=∫(z)=z2+2z在z=-1+2i处的 旋转角,并说明它将平面的哪一部分放大:哪 部分缩小? 解因f(z)=2z+2,故在z=-1+2处, 旋转角rgf(z)=12 arg(2z+2) z=-1+2i T arg(4i)
部分缩小？ 旋转角，并说明它将平面的哪一部分放大？哪 一 试求映射 ( ) 2 2 在 1 2 处 的 z 例 w = f z = z + z z = − + i 解 因 f (z) = 2z + 2, z i f z 1 2 arg ( ) =− + 旋转角 , 2 π = 故在z = −1 + 2i处, z i z 1 2 arg(2 2) =− + = + = arg(4i)