是一个以4为不变点的椭圆变形,也就是绕4旋转的变形,如果日-0,则得平移—抛 物变形,因此,在欧几里得几何中没有双曲变形 52.球面几何学(椭圆几何学) 考虑一个椭圆圆族,不妨假定它就是交单位四于直径两端的圆所组成的.交单位圆 于±e的圆的方程式是 这儿a,2,0是实参变数,(1)代表整个的椭圆族,对应于圆(1)我们有反演 灬(ic°∞)/(∞z+i-) 行列式等于-a2-1.分子分母同除以i√2+a,命 x2+c2 则得变形 w=(zee cost-i sinr)/(-ix sin t+e-8 cosr) (3) 这个变形的行列式等于1.假定还有一反演 x= 22iN= (4) 则其乘积等于 w =(z1eie-)cost -ie4 sin r)/(ixe"is sin r+c-i(*cosr). 这变形的方阵是 这是一个行列式等于1的酉方阵(即MM-1),简称为特殊酉方阵.反之任一行列式 等于1的酉方阵一定可以表为以上的形式,它的证明如下:如果 a|2+」b2=1,ac+b=0,lc|2+|d|2=l,a-bc=1 适合第一个式子的一般解是a〓c0-)cosr,b=- ieb sin t.由第二式c=-4, d=at,由ad-bc=(la2+|b2):=1,得到t=1,所以 因而得出表达式(6) 定理1.由一个椭固族的圆经反演而得出的群是特殊酉群(但需注意±M仅表一个 变换) 附记.(7)式表示西方阵与四元数的关系.命m口a+b表一四元数.由}a|2+ b|2=1,可知|m}=1.如果m1=41+b1,则mm1=a41-b1+(ab1+ba1)j 这也表示乘积MM1,因此特殊酉群可以表为单位四元数的乘法群. 再看反演(2)在 Neumann球上的意义.对应于圆(1),我们有平面 +nsin6- in cos日
这是一个过球心的平面,在球面上表一大圆 定理2.反演(2)在 Neumann球上表示一个依平面(8)而对称的变换 证.如我们能够证明θ=0时的情况,便由平面旋转可以推出一般的情况,这时 平面(8)变为 变形(3)变为 w(2 cosr-isin)/C-i sin r cosr). (10) 由此得 l iz sin r cosT2 Z COST D(is sinr cosr) - tE sinτ+cosr|2 i(ai-1) c 由此可知 ( d)sin r co 因此 1+|c21+|z|21+」w21x|2+1 1+|zi 1+|z」2 (1 +|zl2-2 |iz sin r+ cost>) (1+lal2-2 3|2 sin2r-2 cost 4y sin r cosr) 1+|z|2 2+1 1+|z|2 在球上,假定与,η,《对应于x5,η’,对应于w,则得 2[+ t cos 2 〔5,n,)与其映象〔点,m,5)的中点((+5),1(m+m),1(+ 定在(9)上.此点可以直接验算出来,即 sinr(51+ nsin 2t scos 2t)-(n: - cos 2t+ s sin 2r)cosT S, t sin r cos 2t -- cosr sin 2r) 即(1,n:如1与(52m,《2)依平面(9)而对称. 定理3.连续两个反演的结果在 Neumann球上表示一个旋转,其旋转轴的两端对应 于两个反演的基圆的交点
证,椭圆族中二圆定有二交点,这二点是经此二反演的不变点,由于基风是大圆 不变点在球面上一定是直径的两端.这二反演变为依通过 此直径两平面求对称而得的变换.在任一垂直于直径的平面 上看,图形是:有两条相交直线,对之各反演一次,其结果是 旋转,假定二直线l1,l2的交角为r.原来位置是m1上的 点P1,m1与h1的夹角是日,对h反演后得m2上的一点P2 m2与l2的夹角等于τ一6.对l2反演得m3,m3与m1的夹角 不难证明,任何一个旋转也可以用此法得之。因此,椭圆 几何也就是在旋转群下的球面几何学 附记1.注意:MM=1也可以申述为变换使虚圆x+1=0变为其自己 附记2.椭圆几何中的变形都悬椭圆的.原因是其变换的不变圆成一圆串,而且是 双曲的 §3.椭圆几何的一些性质 不难证明椭圆几何有以下一些性质 ()这空间是可递的 (i)两点间有以下的唯一不变量,对应于这两点在 Neumann球上有两点,通过这两 点与球心各做一矢量(但注意θ与2x-6可能是同一的)这矢量的夹角是不变量 (ⅲ)椭圆族中的圆仍然变为此族之圆,此园称为测地线(或迳称直线) iv)两测地线的夹角是唯一不变量 (v)过两点(除去对应于 Neumann球的直径两端的情况),有唯一的测地线 (v)过一点不能作一测地线与一给定的测地线不相交. §4双曲几何(o6a叮eBci几何) 考虑一个双曲圆族,不失去普遍性我们假定这族是由正交于单位圆诸【所成的,由 正交条件得c一8=0,所以圆的形式是 az+h+石+a=0,|h|12一a2>0 (1) 所对应的反演是 -h-a)/(a2+h 1一=[(∞+万)(az+h)一(-kx-a)(-hx-a)]a+-2 (1-z2)|a+h“h2一a2), 可见反演(2)把单位圆内(!a!<1)变为单位圆内(|w<1),圆周变为圆周,圆外变 为圆外 显然h!>.命 (园内一点及一h/石=c°,则(2)变为
)/( 进行一次变换,x→,则得线性变形 变形把单位圆变为单位圆,把圆内一点x=a变为w=0.不难证明,任意两个反 演之积也是一个使单位圆不变的线性变换 反过来,我们证明,凡使单位圓不变的线性变换一定是(4)的形式,假定 )/(cz+d)是这样的一个变换把圆 4 az+bl2-h 变为单位圆,这圆 (|a2-Jc12)a+(ab-cd)z+(db-cd)+|b2-|d|2=0 是单位圆的充分且必要的条件是ab-cd=0及1a12-1c2--(|b12-d|1)≠0 由前式可知a=,c=bt,代人后式得(1-|t|2)(|b2-」dl4)=0,即|t=1 代人原来的变形中得 w=(dix b)/(btr +d)sdr 由于121-1,及(a,)=…,这就是形式(+)的变换 以单位圆内部作为空间,形如(4)的变换所成的群作为变换群,这样所得出的几何学 称为 JloayeBcKH几何学,或双曲几何学 刚才是以单位圆的内部作为空间出发的,如果我们以上半平面作为空间出发,则得性 质相同而表达方式不同的几何学.群变为 Caz +b)/cz +d) (5 而且a,b,c,d是实数.要证明此点只要证明把上半平面变为上半平面的线性变换一定 是而且也就是(5)即足.把z=0,1,∞代入(5)式,要求#是实数,因而可以得出a b,c,d是实数,而且ad一bc≠0.再由 可知如果ad一bc>0,则把i变为上半面的点,不然,把i变为下半平面的点.因此 ad-bc=p2,分子分母冬以除之即得所求, 今后我们按照方便有时考虑单位圆内部,有时考虑上半平面,但所得的结果极易由共 而推出刃一 上半面的表达形式称为双曲几何的 Ponca表达形式 §5.距离 单位园内(或上半面上)的点作为几何对象,有变换 ci,,|a|<J,0≤θ≤2x (1) (1)也称为一个非欧运动.作为我们的运动群r中的一个变换,首先,圆内任一点
可以由运动群P中的一个变换变为0.因此,双曲空间是在(1)下可递的.不仅如此, 点带一方向所成的集合也是可递的.方法是先把一点换为0,然后经过旋转把任意方向 变为与x轴的正向同向 再看“测地线(或迳称直线)即正交单位圆的圆,通过两点有一条前且仅有一条“测 地线”.证明此点极易.我们可以看上半平面,作这两点的垂直平分线交x轴于C,以 C为心过这两点的圆,就是唯一的过这两点的合乎要求的圆 测地线成一个可递的集合.还是用上半平面来证明。任一测地线对应于x轴上两点 (交点),对任意二实数,有一实变换〓(az+b)/cz+4),ad一bc=1把它们变 为任意二点.故得所证 两条测地线如果相交则其夹角是不变量 现在主要需要研究的是两点间的不变量的问题.假定x13z2是两点,命班,21是其 对单位圆的对称点,作交比 x,1)-(,)F,)二/第二-12a (2) 这是x1,a2两点的不变量.换言之,如果x1,z2变为u1,2,则 g(1,x2)=(x1x1,a;x1,=(m1,nib,l2,2)=g(u12) 反之如果g(x,x2)=K,K是正数,则有变换把a2变为0,把z1变为z,而g(2,0)= !z12=K.经过旋转可以使0不变,而把z变为k.因而得出:g(1,x2)也是两点的唯 一不变量,如以上半平面为基础,则得出不变量 h(213z2) 直接用g(1,x2)作为距离,并不能得出距离的若干重要性质.我们用以下的方法来 推出距离函数。取 d2.2 则得出 3) 这是微分不变量,即它经过(1)而不变直接的证法是微分(1)得 14=91.=112)2d, 因此,得 在双曲几何中长度元素等于