十 2 则仍然得出(2)来,出此(2)是仅有一个不变点的变形 的标准型 如果c≠0,D≠0,则命 不变点变为0与∞,因而也得 对应于z∞,我们有#〓及z'=1.故由上式 二22 一cz 即得 P=4+d+√D +d-√D 以上所做的是把线性变换=f(x)的两个变数经过同一变换的结果.即命t= g(w1),x=g(x1).它的几何意义是原来在x平面上有一变换r,现在把z平面变为 平面,在1平面上变换r所变成的新变换.代数形式是:如果原变换的方阵是M,而变 挨E的方阵是P,则我们新变换的方阵是 MEP-MP 两方阵是相似的,相似性是等价关系,因此可把线性变换分类 定义,如果线性变换只有一个不动点,则称为抛物型的变换,假设线性变换有两个 不动点,如果(4)定义的P是实的,则称为双曲型的,如果的绝对值等于1,则称为椭 四的,如果P是一般复数,则称为等纬型的.卩称为乘数 P的几何意义是什么?它等于下列四点的交比.这四点是二个不动点,原来的x,与 其腴象w,更明确些 p=(x1,z2,z,w) 特别是‰1=∞,z2=0,非pz,得(∞,0,z,p)=p ρ的代数意义是什么?它是M的两个特征根的比值 注意,2-(a,,m),而且(1)-()由此可知,如果A≠P及 则λ所对应的线性变换一定不相似于P所对应的线性变换.因此二线性变换相似的必要 且充分条件是它们的系数相等或互为倒数 另一方面抛物型变换x+k,可以变为(“)={x)+1.因此任何一个抛 物型变换都可以变为w一x+1,即任意两个抛物型变换都是相似的 经椭圆,抛物,双曲变形而不变的圆成一双曲串,抛物串与椭圆串.要证明这点并不 困难,这只要从4=斯+1使所有的平行于实轴的直线不变,4=cx使以原点为中心 的圆不变,以=k使通过原点的直线不变,而且无其他的不变圆即可看出
§12.广义线性群 定义,在线性群中再添上一变换 (1) 这样所演出的群称为广义线性群 因此,广义线性群中除线性变换外,还有形如 (+b)/(c+d) (2) 的变换。不难证明,除此之外便没有了.圆是由实交比定义的,因此广义线性变换还是把 园变为园 1=(a1+b1)/(c1t+d1), 则得 w=(,(az +5)+ b, Ez +d)/(c (az -+6)+d, Cct d)) (a1a+b1c)x+a1B+bd)/((c1a+d12)z+c1B+da 其方阵等于 即两个形如(2)的变换之积是一个线性变换 习题.任何一个(2)添到线性变换群中都与(1)有同样的作用 现在考虑(2)的不变点,(2)的不变点适合于 过(3)推得 Exz+dz-dz一b=0 因而得出两个圆 (c+z)x+(d-a)x+(d-a)一b一b=0, (d+a)z一b+b=0 因此,一舨说来,它使这两圆的交点不变并且把由这两圆定义的圆串变为自己.特别情况 是c=,b=b,d=一a即(4)并不是两圆,而只定义一个,则此变形变为 hc--8 a,8实数 (5) 这变换有不变圆 hw++8s0 连用两次(5),得 ==ba-8-=h(=hx=3)-0(ax+h)x 即全等变换, 这样的变换定义为反演,圆(6)称为这一反演的基,连行两次反演即得全等变换,它 的几何意义如下:先看最简单的反演w=z,它以x轴为镜子,把上半平面的点变为下
半平面以x轴为对称轴的点.因此,反演也称为对称,依基圆对称 (6)可以是实圆或虚因.把任一实圆变为z=1,反演简化 为 它的几何意义是:任一点P-m)变为p(“),即由道 线OP上取一点Q,使OP·09=1(图10).读者不难看出以 任一圆为基囿的反演 由虚圆得出的反演是 1 (8) 定理1.任何一个线性变换一定可以依四个实圆作反演得出 证,只要考虑 即是 1)抛物型.甜=+1是w x一1之积.前者是对y轴的反演 后者是(1+2)-(=+2),是对 1的反演 是两个相切的圆.因此任何一个抛物变换可以表为对两个相切圆的反演之积(属于一个 抛物串的二同) 2)双曲型,m=n是m-1,m-1之积.它们是依圆x-1,s=1的 两个反演,它们是同心圆.因此,双曲变换是依不相交的圆反演出来的(双曲串的二圆) 3)椭圆型.w=c6x,=cb,n,w1=c-,它们是以二过原点的直线的反 演.因而,椭圆变换是依两个相交园反演出来的(椭圆串中的二圆) 4)等纬型.即wp°a把等纬型写为m=pw1,a; 之积,因而得出定 理 上定理的证明包括了更多的内容,不难推出以下的定理 定理2.椭圆,抛物,双曲变换可由两个反演得之 定理3.从一个椭圆(或抛物或双曲)串中任二圆作反演得出的线性变换是椭圆的 (或抛物的或双曲的),所有的这些变换成一群(这群是一个参数的群) 证.先以抛物串 实数 为例.w一z+2k,出〓十2i分别是以y=k,y〓k2的两个反演.其积是 u=x+2(1一k2) 即得出所有形如w口x+k的变形.这些变形成一分群,这分群与“实数的加法群”相 再讨论椭圆串y~xg(0≤6≤x) 是以yxtg为基圆的对称.w一c21,w一c0之积的形式是〓z,这些变
换成一分群,这分群与“绝对值=1诸数的乘法群”相同 最后讨论双曲串x=p2变形 之积为=:.即得形如 饣z(为>0)的变换,这群与“正实数的乘法群”相同 513.射影几何的基本定理 定理1.任何一个连续变换如果把一维射影(复)空间一一对应地变为其自己,并且 使调和点列变为调和点列,一定是一个广义线性变换 证.假定 是这样的一个变换.由于线性变换可以把任意三点变为任意三点,因此我们不妨假定 0=f(0),1=f(1) f(∞) 可知x2=1(a+x).因此,如果w3=f(x3),4-f(x),则 2 即对任二复数a,b常有 f(a)+f(b)=2f(1(a+b) 由b一0得,K)=2(2因此由上式推得 (a)+f(b)=f(a+b) 特别对任一自然数n,f(n)=n(1)=n,又由f(-n)+f(n)mf(0)=0,可知 f(n).又由p 即对任一有理数 常有f(r)=r.由连续性可知对任一实数x,f(x)-x. 命f(i)=j.由于(1,-1 1,可知(1,-1,j,一j=-1 即得 故f(i) 或f(i) 如果f(i)=i则同法可证:对任一有理数r,fri)=ri;对任一实数y,fyi)=y 因此 )=f(x)+Kyi)〓x+yi 如果f(i)〓一i,则对任一实数y,fⅳy)=-iy,因而 即得所证
第二章非欧几何学 §1.欧几里得几何学(抛物几何学) 考虑一个抛物圆族,不妨假定它是由过∞的诸圆所成的族,即所有的直线所成的族 我们现在考虑依此族巾诸圆(即直线)所得出的反演所演出的群 考虑反演 =ez+iet,k实数 (1) (不难直接证明它是反油),这反演的不变圆是 1(xc-10-2ca)= y cos r sin 这是一般的直线,即当0≤6≤2x,λ实数,则(1)代表了对这些抛物圆族的所有可能 的反演,两个反演之积 n1=cz+ictr=“(e-“-i-t)+icr -8 (2) 它的形式是 =c16z+q,q复数, (3) 反之,前已证明形如(3)变形可以表为二反演之积.因此,由抛物圆族出发得一个群, 其中的变换或是(3)或是w≌2,或是二者之积,我们看看(3)的几何意义.=c16z 是旋转,w=z+q是平移,因此(3)所表示的就是刚体运动,而=z是反演,这样 所得出的群称为欧几里得群, 在平面上,在此群下的几何学就是普通的欧几里得几何学 所以欧几里得几何学可以看成为由抛物族月引出来的几何学 欧氏几何学有以下的一些重要性质 (i)这空间是可递的,即任一点可以变为另一点 (ⅱ)两点间的距离是唯一不变量,即如果A,B间与C,D间的距离相等,则有一变形 把A,B变为C,D (ii)直线变为直线(即抛物族中的國仍然变为此族的圆) (iv)两直线的夹角是唯一不变量. v)过二点可以作一(唯一的)直线 (ⅵ)过一点可以作一(唯一的)直线与一给定的直线平行. 附记.再看变形(3),如果6≠0,则 22