而面积元素等于 如果对上半平面来讲,长度元素与面积元素各为 ds dy2 dxd 定理1.在双曲空间中取二点z1,2C为连接此二点之任意曲线(假定它是连续的 而且有连续切线)则使 d 取最小值的C就是测地线 证.取上半平面为基础,作一中心在x轴上,而且经过x1x2的圆,命其中心为(t, 0),则之方程可以写成为 x≌t+pcos,y= p sin 6 且设θ一θ,及2时,z 曲线C的方程可以写成为 x=I+p(8)cos, y p(8)sin 8, p(1)=p(62)=p,0<61<B2<x, 则 vdx+dy?[ " y(e (0)cos 8-e()sin 8)+(e(e)sin 8+o(0)cos O2 e(e)sin 6 tga B2 p(6) 1 g一B1 当且仅当p(6)=0时取等号,即当p(6)〓p是一常数时取等号,即当C是过x1,x2正 交于x轴的圆时取等号 这证明不但正明了定理,而且证明了沿测地线该积分的值等于 2 tg-6 这一数值的几何意义是:过a1:z2的测地线交x轴于 4的NBA,B;C为圆的中心因此 6,6 tga, B ,g-2 因此 tg,的 log I( B,A,z2,31 g-1 不难算出 28
(B )2 lz1-z2|/|i-a2】1 因此,我们可以定义 11ol,-8+|x1 I(z1)>0,l(2 1-22 是两点x1,z2间的非欧距离 在单位圆的情况是 1 !z1!<1,z2|<1 由定义显然可见,如果 即12-x11=0,即 因此,距离函数有下列性质 (i)D(x12)=0的必要且充分条件是 (i)D(z1z2)≥0,由于1一1z2!+ ,故得 所证 (i)D(x;x2)-D(x2a1) (iv)D(=, 2,)<D<zi z2) ).当且仅当31,2,z在一测地线上取等 号 由极小性质可得以上的结论.性质〔iv)可讲述为:非欧三角形两边之和大于另 角形 所讲三角形是指三条测地线所围成的三角形(图13).不难推出“两边夹一角全等定 理”“两角一联边全等定理”“三边全等定理”,“大角对大边定理”等等。我们现在来求三 角形的面积 定理1.三角形A,B,C的非欧面积等于 A 证,以上半平面为基础,面积等于 dxd 1)先矸究∠B=∠C∞0的情况(如图14).不难证明有实变换把B,C,D各变
为∞,1,-1(或变为∞,-1,1),而且所对应的行列式是正的.实质上, 2B+ C= +(BC -2DC DB) (C-D)z+(D一C)B 就是这样的变换.而且行列式等于±2(D一C)C一B)(B一D)经此变换后,图14 变为图15.假定A的坐标是(x,y),则 I-xI 2)假定∠C=0.用实变换把C变为∞,得图16.由1)可知 △ABC=△BEC一△AEC=x一∠B一(x-(x一∠A)=x 3)如果∠A,∠B,∠C无一为0,如图17.由2)可知 ABC=△ADC一△ABD ∠BAD) [x一(一∠B)-∠BAD] r一∠A一∠B一∠C 定理证毕, 出此定理立刻推出 定理2.三角形三内角之和天大于二直角,其值可取0与之间的任何一值 §7.平行公理 总结一下这三种几何的一个基本不同点 欧几里得几何学(抛物).平面上的点是我们的几何对象(不包括无穷远点).运动群 由z→c"z+饣及x→ξ所組成。测地线就是直线.在平面上过一点具能作一(唯一) 测地线与一给定的测地线不相交(欧几里得第十一公设) Riemann几何学(椭圆).球面上的点是我们的几何对象.运动群:球的旋转,及对 过球心平面的对称.测地线就是大圆。在球面上过一点不能作一测地线与一给定的测地 线不相交 VlodaycBcKHi几何学(双曲).单位团内的点是我们的几何对象.运动群是 及x→2.测地线就是正交于单位圆的员(在单位圆内的部分).过一点有无穷个测地线
与一给定的测地线不相交 当球与圆约半径充分大的时候,如果我们的测量仪器根本分辨不出圆弧的曲率的时 候,我们就无法分辨我们所在的空间是那一类几何学.在历史上“陆地如棋局”的看法,就 是把地球面的椭圆几何误认为抛物几何的看法.把空间看为无无尽的欧几里得空间, 而日月星辰处于其中的看法,也忽视了测地线有曲率这一事实 §8.非欧运动分类 我们现在来研究非欧运动 (1) 的分类.在椭圆几何中我们已经看到其中的变换只可能是椭圆的.在抛物几何中,可能 有抛物的也可能有椭圆的.在双曲几何中,问题更复杂这里可能是双曲的,抛物的及椭圆 的三种变换 1)圆内有一个不变点.如果(1)把0变为0,则得W〓c6,这是一个椭圆变换 因此 (2) 是一个使a不变的非欧运动而且没有其他不动点(在圆内).因此,在圆内有一个不动点 的非欧运动是椭圆的,而且形式就是(2).这样的变形称为非欧旋转.如限圆外有一个不 变点b,则a=言是一个圆内的不变的,因而仍然是椭圆的.因此今后我们仅需讨论不 变点在圆周上的情况 2)圆周上有二不变点.现在取上半平面,即二不变点在x轴上.如它们是0,∞, 则得W〓kz,饣>0.它是一个双曲变形.如果a,P是任意二不变点,则 是使a,B不变的双曲变形.总之,如果二不动点在圆上,则得双曲变形 3)仅有一个不变点.还是以上半平面为例.当此点在∞,则W〓z+λ(实 数).而一般的是 十礼, 这是抛物变形 ·3I
第三章解析函数调和函数的定义及例子 §L.复变函数 复变函数是一个复变数x的函数,函数值也是复数w=f(x).变数的范围是复平面 上的一个点集M,对M的每一点,对应一个复数,这样的函数fz)称为单值的.M 称为f(z)的变数范围.当z取M的一切值而得出的所有的值的集合N,称为函数值 的范图 命z=x+,#=“+i,实际上所谓复变函数w=f(x),就是两个实变数x y的两个实函数 u=u(x, y), yau(x, y) 分别把x与各安置在一个复数平面上,则一个复变函数可以看成为(x,y)平面上 的集合M到(,)平面上的集合N的某一映照.如果c=f(x)是单值的,而且对应于 不同的z∈M,有不同的w∈N,则这样的映照称为在M内是一一的,或单叶的.在这 样的情况下,我们可以定义x=q(u).它把N上每个鞅到M上的z点,这x正是在 f()下映到的点,它称为w=f(x)的反函数 如果=f(x)把M映到N上,而a'=g(u)又把集合N映到P上,则 '=h(x)=gf(x)] M映到P上,这叫做函数f,g的复合函数.特别当w=f(x)是一一的,而x=9(u) f的反函数,则有 ((s))=x 例1.第一、二章所说的线性变换 n四(az+b)/(c+d),ad一bch0 都是这样的变形(M,N是整个 Gauss平面) 例2.w=2°把单位圆的内部变为单位圆的内部,但并不是一一的.因为对任一整 数1,r2e24+#都对应于一点re §2.保角变换(或称共形映照) 一个复变函数=f(x)可以看成为一个复平面上的变换(或映照) 它把区城M变为区域N.假定函数#,“对x,y在M内是可微分的,则微分矢量间的关系 dx d ·32