其次,若A,B相切,可找到一个线性变换把A,B易为二平行线A1,B1,C也因而 变为C,由C:的中心可以作一直线垂直于A1B1因此,在这情况下也有一圆与A,B, C三圆正 最后,如果A,B有交点,则有线性变换把A,B变为两直线d1,B:相交于O,而C 也同时变为C1.(i)O在C1之外。我们能够找到一个以O为中心而与Ct正交的圆,乜 就是在这种场合下,有一圆同时正交三圆A,B,C(图7);(i)O在圆C1之内,以O为 中心作一圆r使C1与r的交点在r的直径的两端(图8).因此有 定理1.射影平面上的三个园一定是以下三种情况之一:(i)有一公共点,(i)有 公共正交圆,(i)有一线性变换把这三圆变为交定圆r于T之直径两端的圆 定义,与一定圆正交的所有的圆所成的集合称为双曲的圆族.过一定点的所有的圓 所成的集合称为抛物的圆族.而经过线性变换可以变为交定圆于其直径两端的所有的圆 的集合称为椭圆的圆族 这三种不同的圆族不可能用线性变换从其一变为另一.其道理是:椭圆族中任意两 个圆一定有两个交点,抛物族中两个圆可能有两个交点,也可能仅有一个交点,但并不存 在两个圆无交点的,双曲族中存在有两个圆无交点的, 再看参数变化的情况.双曲风族所正交的圆不妨慑定是x轴,这双曲圆族中的圆是 中心在x轴上的圈.圆心的位置与直线(一∞,∞)相对应,而半径大小 从0到∞,所以它是一个两个参数的系.参数变化汽围与半个平面有相 同的情况.抛物圆族,不妨假定其公共点是C,这圆族和的圆是任意直 线,所以有两个参数,变化范围与全平面相同。椭圓族的定圆不妨假定是 单位圆,它由过单位圆的直径的两端的圆所组成,定國直径的位置决定 于它和x轴的夹角,圆的半径从0变到∞,因此是两个参变数的,并且 以半柱面表之(图9) 定理2.如果园族包有两个圆A与B,它一定也有由A,B定出的 图 圆串中的所有的圆 证.1)如果是抛物族,即有一公共点P.无疑问,因为其中任意二圆A,B必有P 为其公共点,而A,B串上之圆也一定过此公共点
2)双曲族中如果一个圆正交A与B,则也正交A,B所定义的串中之圆 3)椭阖族由以下的初等几何定理推得之,如果A,B各交于其直径之两端,则过 A,B交点的國也交T于其直径之两端.而这一定理已经在55中证明过了 不难证明 定理3.命P是平面上的任一点,族中无穷个圆过P点,这些圆成一串(P不是抛物 族的共点) 定理4.命A,B,C是一族中的三圆,不在同一串中者,D为一第四圆,则我们可由 A,B,C用逐步作串法得出D来 证,在D上可以找到一点P,它既不是串(A,B),(a,C)的极限点或共点,又不 是A上的点,已知过P可以作一圆E属于串(A,B),作一圆F属于串(A,C).由于 A,B,C不在同一串中,E,F不相同.由定理3可知D属于(E,F)串 由此推得 定理5.一族由其中菲同串的三个圆唯一决定 以上所谈到的双曲族及抛物族的性质,是经线性变换而不变的.但椭與族的定义并 不是经过线性变换而不变,现在可以补足这个缺点.族可定义由不同串三圆连续作串所 得出来的集合.双曲族抛物族的定义照旧,而椭医族的定义可以改为族之非双曲与抛物 附记.命 a、(x2+y2)+2x+2Yy+8,=0,i=1,2,3 代表三回,由 所代表的诸圆称为圆族.试由此研究圆族及其分类等 n方阵 现在我们概括地捉一下用 Hermitian方阵来处理圆串的方法,也可以说给 Hermitian 方阵的研究提供一些最简玥的几何背景 1)一个疯 十hx+8=0,h=B+ (1) 对应于一个 hermitian方阵 但相差一个实数因子 Hermitian方阵代表同一阅(即如果有实数≠0使H≌λH 则HH代表同一个匹) 2)H的行列式
等价于它所代表的圆是虚圆、点圆或实圆.这个条件可以改写为:命 则 tr(FHF)=tr a-))=2(h12-a8), 即得 所以依 tr(FHFH)<0,=0或>0 (4) 而决定H代表虚圆、点圆或实圆 3)经过变换 az+ b 以H为方阵的囡变为以 P HP [alia+ ach+ach+Icl'8, abc adh+bch+ aba+cbh bbc十bdh+bdk+ (6) dca 为方阵的圆.关系 H s= PH 就是我们所熟悉的“相抵关系”.取行列式detH= I det P!2deH,敞圆的虚实性不变 由 Hermitian方阵的相抵理论可以知道圆可变为以下三种之 (虚) (点) )(实) 01 4)正交条件,不难证明两个圆H,H1正交的条件是 这个关系是经过相抵性而不变的也就是 F(PHP)F(PHP))=tr((P FPH(PFPH= Idet P!'t(FHFH,) 由于PFP= (2)(0)(2)-《sP)) 5)与一定國H正交的诸圆称为一个圆旅,也就是适合于 tr(FH FHo= 0 的诸 Hermitian方阵H.这是一个线性关系,因此有两个参变数,由相抵的条件可知有 三类不同的族,即以 10/1 分之,各为 (8)
这族是椭圆的,抛物的,双曲的 6)因此在一族中可以找出三个圆H13H2,H3,使这族可以表成为 λH1+1H2+3H3 就(8)来说椭圆族可以表为 +B 0 10 而抛物族可以表为 0 而双曲族可以表为 0 y (读者试指出a,B,y适合何种关系,才是实圆) 7)给两个定圆H与H2,形如 λH1+22H2 的圆成一圆串.如果一个圆与H1正交与H2正交,则与圆串中的任一圆也正交,由 tr(FHFHi-tr( FHFHi)m 0 可知H的元素适合两个线性关系.因此是有一个参变数的,即可知有二圆F与H2)使 H可以表为 H D+ AH(2) 这是一个圆串 8)研究圆串中点圆的个数,即求 tr(F(AH,+ uH,F(AH, +uH2))=0 的解.这是一个二次方程式,共有三种情况:()有二实解,(i)有一实解(即重根), (ⅲi)无实解.不难证明他们各对应于双曲,抛物,椭圆串,并可以用相抵关系各变为 10 (二个点圆,双曲串) (平行线,抛物串), 110 0 (过原点的直线,椭圆串) 并旦(i)与(i)正交,(i)与2(00 0 i 正交,极易看出给了一个串 (椭圆,抛物,双曲)则存在唯一的串(双曲,抛物,椭圆)与之正交 9)圆族中经一点(它不是抛物族的公共点)的诸圆成一圆串这是显然的事实,由于 “经一点”与正交一“点园”等同 对一圆族来说,也可以考虑 tr(F(uH,+uH2 +vH,)F(AH, AH2+ vH3)) 它是一个二次型.可以看出三种情况:(有唯一点圆,(i)有无穷个点圆,(i)无点
圆3不难证明各相抵F以下诸例 例1.H ,二次型是 杲μ2+2=0,则n=y=0,即得一个点圆H(抛物) 例2.H TIg 二次型是-2+g2+v2 2=2+v2,有无数个解(双曲) 例 二次型是 2a2+v2=0,即得λ=a=υ=0,故无点圆(椭圆) 这三个例就是6)中的三例,因此结论已明 10)因此椭圆族中仅能有椭网串(无点圆),抛物族中仅有椭圆串与抛物串(而且一定 有),双曲族中有三类串, 读者不妨以此方法来推出上文的一切结果 §11.变形分类 变形 C2 的不变点(或称不动点)适合于二次方程 +(4-a) (1) 如果(1)的系数都等于0,则得和=z,即恒等变形,任何一点都不变 若c≠0,则(1)有二根, √D D=(d-a)2+4b 视D=0或≠0,我们有一个或两个不变点,下面我们分别讨论=0和c≠0的情况 则只有一个不变点∞.仅有∞为不变点的变形是 这就是平移, 若c=0,而d-a≠0,则我们可以看成为两个不变点,一个是∞,一个是, 而命 b b 2)如果c≠0,D=0,则 (1)变为