写zx+iy,公式(2)与(3)建立单位球与复射影平面间的一一对应关系(x = 对应于N) 平面上一个 a(x2+y2)+28x+2yy+8=0 (4) 变为 E1)+25 1-+2yy 8=0 即 (a-8)+2B+2γ+a+8=0. 这是一个平面,与单位球交于一圆.反之有一平面(5),我们在复射影平面上也得一圆 (4).现在证明:视(5)交,切,或不交单位球而决定圆(4)为实圆,点圆,虚圆 从几何上来说明这问题十分容易.如果(4)是实圆:由投影法的性质,在单位球上 定有轨迹,它是单位球与(5)的交线,即(5)一定与单位球相交,同样证明相切及不相交 的情况.因此虚圆在三维空间也有了实表示法,即一个不交于单位球的平面.但必须注 意堆一的例外,即虚圆x2+1=0所对应的(5)是2=0,是一矛盾方程 现在我们研究球上大圆在平面上所对应的圆的性质.一个大圆与赤道交于两点,这 两点是平血上单位圆的一个直径的两端.因此球上的一个大圆对应于平面的交单位圆于 一直径两端的圆,反之亦真.从这个性质我们容易证明以下的初等平面几何上的定理 定理1.假定两个圆A,B都交定圆T于直径之两端,则A,B一定有两个交点,过 这两交点作圆C,它也是交r于直径两端的圆 证,设两圆A,B对应于球面上大圆A1B1,他们的交点是球的直径的两端.假定 C1是对应于C的圆,由其过球的直径之两端,因此C1是大圆,其对应的C当然是交于r 的直径两端的圆 §6.交比 现在考虑线性群下的几何学 由于线性群的子群整线性群已经能把任意两点变成为任意两点,因此射影空间成一 可递集,任意二点可以变为任意二点 现在再证任意三点可以变为任意三点,由以上的性质不妨假定三点中之二已经变为 0,∞,而另一是a,则再施行 可以把原来三点变为0,1,∞, 由于使0,1,∞,都不动的变换是恒等变换,枚任意四点并不能变为任意四点 定义 (x1,x2,3,a,)=3-2/-21 22一232-z4 称为(1,22,33,x4)之交比,特别当(x1;2,x3,24)=-1,谓四点a1,z2,x3,z组成 调和点列
定理1.交比经线性变换后保持不变 (ad一bc)( (cai+ d(ca;+d) 定理2.四点m1,u2,m,w4可以依次变为x13x23z3,z4的必要且充分条件是它 们的交比相等, 证,前已证明如果w,(1≤i≤4)可以依次变为x(1≤i≤4),则交比相等 任意四点中的三点可以变为0,∞,1,假定四点已变成为0,∞,z,1,则交比等于 即任何交比为x的四点一定可以变为0,∞,z,1.证毕 具体地看一下,线性变换 二212 它把z2变为0,x1变为∞,而把a变为1.因此 (w1,w2,w3,)=(x1,22,23,2) 定义…个线性变换,把z=1,如2,z3变为#=w1,2 由于交比的不变性,此线性变换是唯·具有此性质的 因此,(t)所表示者乃线性变换的一般形式即三对对应点 唯一地决定一个线性变换.这个变换就是(1)式 考虑交比的辐角 arrk 23,2)=arg ∠x122一∠x 如果交比是实数,即∠2x2一∠x1x3,可见z在经三点a1,a2,x3的圆周上.反之亦 然 若(x1,x2,z3,z)是实数,则由(1)所定义的(1,w2,w3,t)也是实数,因此,当 z过出x1,z2,x所决定的圆周时,“也过由1,w2,w所决定的圆周.但需注意,如果 x1,x2a3在一直线上,则所定的直线亦叫“圆”,可以认为是半径为的“圆” 所以线性变换把圆变为圆.特别取x=1,z i。则过z1,z2,z3的 圆是单位圆.取w1"∞,砌2=0,m;=1,则过,w2,3的圆是x轴,因此得变换 )=(x1,2,23,z) 它把单位圆变为实轴,并且把单位圆的内部x]<1变为上半平面l>0. 如果取另一次序x1 i,则得
它把圆的外部|z]>1变为上半平面l>0. 又取x1=0,2=1,a=∞,则 这变形把上半平面变为其自己.又取x1=1,z=0,z=∞,则 它把上半平面变为下羊平面 (读者试求出:x1,2,z3以任何次序取0,1,∞的各种变形.并且区别哪些是变上 半平面为上半平面者哪些是变上半平面为下半平面者.) §7.圆对 以圆为几何对象,上节已经说明了,在线性变换群下,平面上所有的圆(包括直线)成 一可递集.现在我们来考虑圆对的问题 定理1.线性变换使二圆的交角不变 证.假定两圆的交点在x122(图4).在二圆上各取一点3,4,这些点交比的辐角 arg(x3,4x1z2)=∠x324-∠z11z4 当动3与x4都趋近于x1时,即得两赋之交角.由交比的不变性,故定理得证, 定理2.两个相切的圆可以变为任意两个相切的圆.两对相交的因的夹角如果相等 则可由其一对变为另一对 证.把交点之一变为∞则得:(i)把相切圆变为平行线,(i)把相交圆变为二相 交的直线 任意两条平行线可以变成为y=0与y=1.故得第一段结论.任意夹角为6的直 线可变y=0及xsiθ-ycosθ〓0.因得第二结论 也就是:相交的两圆以夹角为其唯一的不变量 再看不相交的情况.假定A,B是两个不相交的圆.先把A变为一条直线A1,同时 把B变为团B1(图5).A1与B1也不相交.通过B1的中心作一直线l垂直于At,交A 于M.以M为中心作一圆C正交B1.由于C,l相交,出定理1可知有一线性变换把C
变为二直线(正交的),A,B1变为与二直线正交的二个圆,A2,B2,因此A2,B2是同心 因.因此得 定理3.任意两个不交圆可以变为两个同心圆 两个不交圆的不变量是什么?同心圆过圆心的直线交两圆于四点.这四点有交比 这交比就是不变量(注意虽然直线可以不同,但交比始终相等)这一不变量可以改述为 两个不交圆A,B,作一圆与A,B都正交,交出四点,这四点的交比,就是两个不交圆的 唯一不变量 附记1.两园 a(x2+y2)+2Px+2yy+d=0, a1(x2+y2)+21x+2y+1=0 的中心各为(-2,一2(-点,一2)半径各为、√+2=2 Bf+ri-a, 因此它们正交的条件是 p+r-as+pi+ri a(B2+y2-a8)+a(B+n}-a11)一(a1P一月:a)2+(a1-y1a)2 2β 这个正交条件是在a≠0,≠0的条件下推出来的,不难证明,当a=0或a1=0 时,它也代表两方程所定义的直线的正交性 附记2.把条件(1)改写为 2 c:=0 Q 在 8=P1 8-8;时,则当Q 0,<0原方程所对应的圆分 别是虚,点,实 §8.圆串( 定义.给了两个圆A,B.与AB正交的圆成一集合,称为与A,B共轭的圆串 定理1.圆串有一个参变数 证.首先如果A,B相交,我们不妨假定A,B是以O为交点的直线,与此二直线 的圆是以O为中心的任意圆,即以半径R为参变数的圆串 其次,,B相切.不妨假定A,B是二平行的直线,与A,B正交的圆是所有的垂 直于A,B的直线,也是一个参变数 最后,A,B不交,不妨假定A,B是二同心圆,垂直于A,B的圆是通过国心的所 有的直线,也是一个参变数 定义.这三类串各称为双曲的,抛物的,椭圆的
在定理1的证明中实质上已经给出了串的标准型 任何一个双曲串可以用线性变换变为“以原点为中心的所有的圆”其中包括两个点 圆一在原点,一在∞。同时也可以推出双曲串中任二园不相交,两个点P,Q称为这 串的极限点 任何一个抛物串可以用线性变换,变为“平行于x轴的所有直线”,以∞为切点.因此 抛物串的诸园有一公切点,此点称为结点 任何一个椭圆串可以用线性变换变为“过原点的所有的直线”,每一直线过两点0, ∞,因此椭圆串的圆过两个定点 因此,任何一个串可以变为以上三者之一,由于椭凤串中任何两有二公共点,抛物 串有一公共点,双曲串尼公共点,因此,没有变换可以 把一类性质的串变为另一类性质的串. 也显然可见,如果知道了一串中的两个圆,则这个 串就唯一决定了 由于“以原点为中心的圆”所成的串与“过原点的 直线所成的串是正交的(即一串中任一圆与另一串中 任一圆正交),由此可以有椭圆串正交于一个双曲串 同时有抛物串正交于一个抛物串。双曲串正交于 椭圆串.这样的串称为互相共轭(图6) 由标准型可以看出:给了平面上一点(除极限点 和结点外),在串中有一个圆而且只有一个圆通过此点 附记1.参数所活动的范围也各有不同的性质.双曲串的参数与射线上的点一一对 应(例如(0,∞),抛物串的参数与一直线上的点一一对应.椭圆串的参数则与圆周上 的点一一对应,由此也可推出没有线性变换可以把不同类的串变来变去. 附记2.用矢量(a,B,丫,)表圆 a(x2+y2)+28x+2y+8-0, 则由两实圆(a,P,y,b)及(a1,B1,y1,6)所定义的圆串是由圆 所组成的,这儿λ,B是非同时为0的任意实数 由此代数形式进行分类.由二次型 a1)(λ+B1)一(B+uB1)2一(λ )2 入于,这个二次型可能有三种不同的情况:(i)标签是+,一(双曲串),(ⅱ)降秩(抛物 串)(ⅲ)定负(椭圆串) 59.圆族 现在矸究三个园A,B,C的问題.假定它们没有公共交点 若A,B无交点我们有线性变换把A,B变为同心圆A1,B,假定C也变为C1.过 ,B1与C1的中心作一直线,这直线正交f1,Bt与C1三园.因此在这种情况下,我们1 可以找到一圆与A,B,C三圆直交