形如(1)的变换把≈变为wo.显然 z+( 有此功能,这一性质称为可递性,即在整线性变换群下,复平面成一可递集合 其次,任何两点可以变为任何两点,例如变形 =二2x+1-32I (3) 可以把变为1,把x2变为42 再次考虑三个点的问题,并不是任意三点都能变为任意三点,三点x,32,x1依次变 为u1sc2:a3的条件是 (4) 显然(3)把a1,22变为w1,w2.又由(4)可知 均二2+二=m1(二2)+m2(二8 知如果条件(4)适合,则(3)就把z1,22,x3依次变为1,w2,w.反之,如果 az;十b 这等价于(4).概括起来可以作如下的说法:三点定一比(2二2),三点可以依次变为 另三点的必要且充分条件是比值相等 比值的几何意义是什么?命 x2二21 ρ是三角形两边边长之比,而θ是夹角,也就是果两个三角形有一角相等,夹这角的两 边的比例相等,则可以由整线性变换把其一变为另 刚才是以点为对象的几何学,现在以直线及同为对象来进行硏究,变形(1)显然变直 线为直线,变圆为圆 直线的一般形式是 (cx+a)=0. 变换=cx+d把直线(5)变为lw=0,即变为实轴,因此 复平而上的任一直线可经过整线性变换变为实扣,也就是直线成 可递集合 两条直线可以变为两条直线的必要且充分条件是前二直线的夹角等于后二直线的夹 角,读者试自证之 圆的一般形式是
经变换z-c=p可以变为ww=1,即以原点为中心的单位圆.因此,任何(实)圆 都可以变为单位圆,也就是在整线性变换群之下,(实)圆成一可递集 读者试自求出两圆变为两圆的必要且充分条,先分相交不相交,相交的看交角,不 相交的看什么? §3.线性变形( Mobius变形) 现在研究比整线性变换群更一般的群:这群是由形如 的变换所组成的,特别当c=0时这就是整线性变换.由所有的形如(1}的变换所成的 集合称为线性变换群.变换(1)称为线性变换或Mbis变换或称射影变换.显然(1) 有逆变换 (dw-b)/( 也不难证沏连续施行两次形如(1)的变换其结耒仍然是形如(1)的变换,所得出约变换 称为前两变换之积 但有一点需注意,(1)并不把复平面一对一地变为其自已,由(1)可见并无与 d对应,由(2)可见并无x点可以对应于 如果要求一一对应,我们势必要扩充我们的复平面.加上一个无穷远点,即(1)把 变为无穷远点=∞,而z=∞这一点经(1)而变为“ 加上无穷远点的平面称为函数论平面或称一维复射影空间.一维复射影几何学就是 研究在一维射影群下,一维射影空间的性质 较严格的定义如下考虑:非全为零的一对复数(1,x2),如果有一个复数p(÷0)使 则两个复数对(1,x2)及(u1,w2)称为等价,用符号 (z1,z2)~( 表之,等价关系显然有以下的三性质 (i)(x1,z2)~(z1,z2) (i)若(忽1,忽2)~(1,w2),则(1,w2)~(z1,2); (ii)若(z1,z2)~(w1,),(ut,w2)~(a,wz),则(x1,z2)~(n1,n2) 依等价关系把听们的非0复数对分类,凡等价的归一类,不同类的对一定不等价.每一类 定义一点,这些点的集合便成一维射影空问.如果x2÷0,则=x就是普通复平面 上的点,而(x,2)称为点x的齐次坐标,这说明与(z1,2)同一类的(pa1pz2)也代表 同一点x.如果a2=0,则(x1,x2)代表无穷远点,由于(a1,0)~(1,0),所以无穷 远点是唯一的 在齐次坐标下线性变换也可以写成为
∫c;=ax1+bz ≠0, (3) c2t+tdz 用矩阵符号可以写成为 注意,并不是对应于一个方阵 就有一个变换 由于等价关系,对任一p(≠0), 也代表相同的变换,这一点从(1)也显然 可以看出,因为分子分母同乘一数p,其值不变 方阵 也称为变形(1)的方阵,但需注意,对任一P≠0, 都是代表同一变换 对应于方阵 的两个变形之积的方阵等于所对应的方阵之积 aar+ bic, ac,+ §4.群与分群 定义1.如果一个线性变换的集合适合于以下的三条件则称为成一个群: (i)包有单位变换:a=z (i)包有逆变换:即如果它包有v=(ax+b)/(cx+d),则也包有 (i)包有其中任二变换之积:即如果它包有 w=(az+b/(ce +d), w=(as+b))/(c+di), 则也包有 n〓[a(+b)/(c1z+d)+b/[c(a1x+b)/(c1z+41)+d [Caat+bcus +(ab1+ bd,/[(car+ desa+(cb+dds] 定义2.一个群的一部分如果也成一群,则这部分称为原群的分群(或子群) 例1.所有的线性变换成一群. 例2.所有的整线性变换成一群,这是线性变换群的分群 例3.所有的形如4=z+a的变换成一群,称为平移群,它是整线性变换群的分群, 整线性变换群之另一分群是 而这个群又有两个重要分群.对正数,所有的形如=kx的变换所成的群,称为放
大缩小群.对所有的绝对值等于1的数e,a=cz成一个群,称为旋转群 例4.对实数ab,c,d 也成一群,称为实群,适合于ad-bc=1的成一实群的分群 例5.形如 的变形也成一群,称为酉群 例6.形 甜=d+b,}a}=1 的变换成一群.如果写成实数的形式,即命 p+:49, 得 t=xcos日-yain+p, n8+ ycos6+ 这就是我们所习知的刚体运动,即旋转与平移,因此这群也可以称为刚体运动群。 例7.形如 的变形也成一群,这群称为非欧运动群,或称 VloGaqeBCKE群 例8.所有的形如 的变换成一群,称为以凵为周期的群.它是以下的双周期群的子群, n-z+ol卜a,l,=0,士1,±2 例9.如果a,b,“d是适合于 d-bc=l 的整数,则形如 (az+b)/(ea+ d) 的线性变换也成一群,称为模群 例10.如果a,b,c,d是适合于 的复整数(如果a1,a2都是整数,a=a1+cx称为复整数),则形如 w =(ax+b)/(cz +d) 的变形也成一群 定义,在一群G中如果可以找出一批变换,使G中任一变换都可表为这些变换及其 逆变之积则这批变换称为群的演出元素 剑11.例8中所给的群,以 为周拘群的演出元素.而双周期群以
为共演出元素 例12.整线性变换所成的群,可以由以下诸元素演出之 B=z+b,(平移), u=c°z,(旋转), (i) =,(放大缩小),>0. “放大缩小”或称“仿射”演出元素有以下的功用:任何一个性质经平移,旋转,仿射 而不变,测经整线性变换也不变.例如,两直线的夹角,反之,如两点间的距离虽经平移 与旋转不变:但它经仿射丽变化因此距离在整线性变换群下是可能变化約 例13.再看线性群由于 ==(az+b)/(cz+d),c≠0 可以变为 bc-ad 之积,因此这群可由整线性变换群添加w-而得之.(如果c=0,则本身就是整 线性变换,毋待多论.)因此,线性变换可以由平移,仿射,旋转及 演出之 Amann 为了把无穷远点讲得更清楚我们引进球面投影法,建立起球面与平面的关系 作一球,其半径为1,其球心在原点,设球面动点为P(5,η,),则此球面的方程式 (1) 从点N=(0,0,1)把球上之一点P口(,勿,5)投影于5-平面上之一点Q=(x, ).命T为以ON与OQ为边的矩形的另一顶点,命SF平行于NO,俞FG与QH平 行于轴,则OG=5,FG=PF=,OH=x,QH-y.由于三角形NSP与 NTQ的相似性,可知 (1一2):1 TQNS:NT=OF:OQ=η:y= 所以 由(1)可知 1+x2+y2 (1-)2+§2 2