2零元 定义设“*”是定义在集合A上的二元运算，若 30∈A,使得对Va∈A,都有： a*0=0*a=0,则称0为运算“*”关于A的零 元； a*0=0,则称0为运算“*”关于A的右零元， 又记为日ri 0*a=0,则称日为运算“*”关于A的左零元， 又记为日1 2025/5/13 计算机与信息工程学院 11
2025/5/13 计算机与信息工程学院 11 2 零元 定义 设“*”是定义在集合A上的二元运算，若 θA,使得对aA,都有： a*θ＝θ*a＝θ，则称θ为运算“*”关于A的零 元； a*θ＝θ，则称θ为运算“*”关于A的右零元， 又记为θr； θ*a＝θ，则称θ为运算“*”关于A的左零元， 又记为θl。
例5 设有代数系统<R,X>,则该代数系统的零元为日 =0; 设有代数系统<p(A),∩>，则该代数系统的零元 为0=Φ； 设有代数系统<p(A),U>,则该代数系统的零元 为0=A; 设有代数系统<A,个>，则该代数系统的零元为 0=F; 设有代数系统<A,V>,则该代数系统的零元为 0=T。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 12
2025/5/13 计算机与信息工程学院 12 例5 设有代数系统<R,×>，则该代数系统的零元为θ ＝0； 设有代数系统<p(A)，∩>，则该代数系统的零元 为θ＝Φ； 设有代数系统<p(A)，∪>，则该代数系统的零元 为θ＝A； 设有代数系统<A，∧>，则该代数系统的零元为 θ＝F； 设有代数系统<A，∨>，则该代数系统的零元为 θ＝T
3逆元 定义设“*”是集合A上的二元运算，e是<A,*> 的么元，若对aeA,b∈A,使得： 1).ab=b*a=e,则称b为a关于运算“*”的逆 元； 2).ab=e,则称b为a关于运算“*”右逆元； 3).b*a=e,则称b为a关于运算“*”左逆元。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 13
2025/5/13 计算机与信息工程学院 13 3 逆元 定义 设“*”是集合A上的二元运算,e是<A, *> 的幺元，若对aA，bA，使得： 1).a*b＝b*a＝e，则称b为a关于运算“*”的逆 元； 2).a*b＝e，则称b为a关于运算“*”右逆元； 3).b*a＝e，则称b为a关于运算“*”左逆元
例6 1).设有代数系统<R,+>,“0”是该代数系统的么 元。对HaeR,都3a1=-a,使得： ata-1=a+(-a)=a1+a=(-a)ta=0, 所以“-a”是“a”的逆元； 2).设有代数系统<R,×>,“1”是该代数系统的么 元。对VaeR且a≠0，都a1=1/a,使得： aXa-1=a×(1/a)=a1×a=(1/a)×a=1, 所以“1/a”是“a”的逆元，而a=0无乘法逆 元。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 14
2025/5/13 计算机与信息工程学院 14 例6 1).设有代数系统<R,+>，“0”是该代数系统的幺 元。对aR，都a -1＝−a，使得： a+a-1＝a+(−a)＝a -1+a＝(−a)+a＝0， 所以“−a ”是“ a ”的逆元； 2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的幺 元。对aR且a0，都a -1＝1/a，使得： a×a -1＝a×(1/a)＝a -1×a＝(1/a)×a＝1， 所以“1/a”是“ a ”的逆元，而a＝0无乘法逆 元
么元性质 定理设*是集合A上的二元运算。 1)若<A,*>存在幺元，则该么元唯一； 2)若<A,*>存在么元，则该么元一定是左、 右么元； 3)若<A,*>存在左、右么元，则该左、右么 元一定相等，且是么元。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 15
2025/5/13 计算机与信息工程学院 15 么元性质 定理 设*是集合A上的二元运算。 1)若<A, * >存在幺元，则该幺元唯一； 2)若<A, * >存在幺元，则该幺元一定是左、 右幺元； 3)若<A, * >存在左、右幺元，则该左、右幺 元一定相等，且是幺元