证明 1).设<A,*>存在两个以上的么元，不妨假设e1, e2是A,*>的两个么元， e1=e1*e2=e2 可知e1=e2,即<A,*>的么元是唯一的。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 16
2025/5/13 计算机与信息工程学院 16 证明 1).设<A, * >存在两个以上的幺元，不妨假设e1， e2是<A, * >的两个幺元， e1 =e1 *e2＝ e2 可知e1＝e2，即<A, * >的幺元是唯一的
证明（续） 2).设e是<A,*>的么元，则由么元的定义知：使得对 /x∈A,都有：X*e=e*X=X, 即有：X*e=x与e*X=x, 所以：e既是<A,*>的左么元，又是<A,米>的右么元。 3).若e1、e是<A,*>的左、右么元， e=e1*er=er 可知e1=er,即左、右么元相等； 为此有：x个e=x=x个e1=e1个x,所以：e=e1。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 17
2025/5/13 计算机与信息工程学院 17 证明(续) 2).设e是<A, * >的幺元，则由幺元的定义知：使得对 xA，都有：x * e＝e * x＝x， 即有：x * e＝x与e * x＝x， 所以：e既是<A, * >的左幺元,又是<A, * >的右幺元。 3).若el、er是<A, * >的左、右幺元， el=el * er ＝er 可知el＝er，即左、右幺元相等； 为此有：x∧er ＝x＝x∧el＝el∧x，所以：e＝el
定理设“*”是集合A上的二元运算。 1)若<A,*>存在零元，则该零元唯一； 2)若<A,*>存在零元，则该零元一定是左、右 零元； 3)若<A,*>存在左、右零元，则该左、右零元 一定相等，且是零元。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 18
2025/5/13 计算机与信息工程学院 18 定理 设“*”是集合A上的二元运算。 1)若<A, * >存在零元，则该零元唯一； 2)若<A, * >存在零元，则该零元一定是左、右 零元； 3)若<A, * >存在左、右零元，则该左、右零元 一定相等，且是零元
定理设<A,*>是一个代数系统，A的元素个 数多于1，若存在关于运算“*”的单位元e和 零元0，则e卡日 2025/5/13 计算机与信息工程学院 19
2025/5/13 计算机与信息工程学院 19 定理 设<A, * >是一个代数系统，A的元素个 数多于1，若存在关于运算“*”的单位元e和 零元θ ，则e≠θ
逆元性质 定理设“*”是集合A上的二元运算，〈A,米> 是一个代数系统，若“*”满足结合建且e是 <A,>的么元（即么元存在），则对VaeA, l)若a存在逆元，则该逆元唯一； 2)若a存在逆元，则该逆元一定是该元素的左、 右逆元； 3)若a存在左、右逆元，则该左、右逆元一定相 等，且是该元的逆元。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 20
2025/5/13 计算机与信息工程学院 20 逆元性质 定理 设“*”是集合A上的二元运算，<A, * > 是一个代数系统，若“*”满足结合律且e是 <A,*>的幺元(即幺元存在)，则对aA， 1)若a存在逆元,则该逆元唯一； 2)若a存在逆元,则该逆元一定是该元素的左、 右逆元； 3)若a存在左、右逆元，则该左、右逆元一定相 等，且是该元的逆元