例3 设A是一个集合，定义幂集p(A)上的关于集合的∩，U运 算，则 1) 对任意X,Y,Z∈p(A),由集合运算的性质我们知 道， (X∩Y)nZ=X∩(Y∩Z),(XUY)UZ=XU(YUZ) 由结合律的定义，我们知道∩，U运算都满足结合律。 2)对任意X,Y∈p(A),有 XnY=YOX XUY=YUX 由交换律的定义，我们知道∩，U运算都满足交换律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 6
2025/5/13 计算机与信息工程学院 6 例3 设A是一个集合，定义幂集p(A)上的关于集合的∩,∪运 算，则 1) 对任意X，Y，Z∈p(A)，由集合运算的性质我们知 道， (X∩Y)∩Z＝X∩(Y∩Z)， (X∪Y)∪Z＝X∪(Y∪Z) 由结合律的定义，我们知道∩，∪运算都满足结合律。 2) 对任意X，Y∈p(A)，有 X∩Y＝Y∩X ， X∪Y＝Y∪X 由交换律的定义，我们知道∩，∪运算都满足交换律
例3（续1） 3)对任意X,Y,Z∈p(A),有 X∩YUZ)=(X∩Y)U(XnZ) (YUZ)nX=(Y∩X)U(Z∩X) 则∩对U满足分配律，同理U对∩也满足分配律。 4) 对任意X∈p(A),有 X∩X=X, XUX=X, 所以，∩，U在p(A)上满足幂等律。 5)对任意X,YEp(A),有 Xn (XUY)=X, XU(X∩Y)=X 所以，∩，U在P.(A)上满足吸收律。 2025/5/1 计算机与信息工程学院
2025/5/13 计算机与信息工程学院 7 例3(续1) 3) 对任意X，Y，Z∈p(A)，有 X∩(Y∪Z)＝(X∩Y)∪(X∩Z) (Y∪Z)∩X＝(Y∩X)∪(Z∩X) 则∩对∪满足分配律，同理∪对∩也满足分配律。 4) 对任意X∈p(A)，有 X∩X＝X， X∪X＝X， 所以，∩，∪在p(A)上满足幂等律。 5) 对任意X，Y∈p(A)，有 X∩(X∪Y)＝X， X∪(X∩Y)＝X 所以，∩，∪在p(A)上满足吸收律
代数系统的特异元 在代数系统<A,>中，有特殊性质的元素，叫特 异元。 例如在代数系统<N,十>，其中N是自然数，“十” 是普通加法，O∈A,并且对任意的自然数x∈A, 有x十0=x十0=X 2025/5/13 计算机与信息工程学院 8
2025/5/13 计算机与信息工程学院 8 代数系统的特异元 在代数系统<A, *>中，有特殊性质的元素，叫特 异元。 例如在代数系统<N，＋>，其中N是自然数，“＋” 是普通加法，0∈A，并且对任意的自然数x∈A， 有x＋0＝x＋0＝x
1、单位元素或么元 定义设“*”是集合A上的二元运算，若 3e1∈A(e,∈A,或eeA),使得对Vx∈A,都有： e1*x=x,则称e为运算“*”关于A的左单位元或 左么元； x*e,=x,则称e为运算“*”关于A的右单位元或 右幺元； x*e=e*x=x,则称e为运算“*”关于A的单位元 或么元； 2025/5/13 计算机与信息工程学院 9
2025/5/13 计算机与信息工程学院 9 1、单位元素或幺元 定义 设“*”是集合A上的二元运算，若 elA(erA，或eA)，使得对xA，都有： el*x＝x，则称e为运算“*”关于A的左单位元或 左幺元； x*er ＝x，则称e为运算“*”关于A的右单位元或 右幺元； x*e＝e*x＝x，则称e为运算“*”关于A的单位元 或幺元；
例4 设有代数系统<R,+>,则该代数系统的幺元为e=0; 设有代数系统<R,×>,则该代数系统的幺元为e=1; 设有代数系统<p(A),∩>，则该代数系统的幺元为e=A; 设有代数系统<p(A),U>,则该代数系统的么元为e= Φ； 设有代数系统<A,∧>，则该代数系统的么元为e=T; 设有代数系统<A,V>,则该代数系统的么元为e=F。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 10
2025/5/13 计算机与信息工程学院 10 例4 设有代数系统<R,+>，则该代数系统的幺元为e＝0； 设有代数系统<R,×>,则该代数系统的幺元为e＝1； 设有代数系统<p(A),∩>,则该代数系统的幺元为e＝A； 设有代数系统<p(A),∪>,则该代数系统的幺元为e＝ Φ； 设有代数系统<A,∧>,则该代数系统的幺元为e＝T； 设有代数系统<A,∨>,则该代数系统的幺元为e＝F