独立不同分布的 定理2（李雅普诺夫定理yapunov) 中心极限定理 设随机变量X,X2,Xn,.相互独立，它们具有数学期望和 方差：E(X,)=A,D(X)=00k=12.记B-2i 若存在正数6，使得】 B公2x,-4)=0 则{X,服从中心极限定理.即随机变量之和∑X的标准化变量 含-2x2含4 的分布函数F,(x)对于任意x 2x B。 满足1imFn(x)=Φ(x). Z,近似~N(0,1)
定理2 (李雅普诺夫定理 Lyapunov) 2 2 2 1 1 2 , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , n k k k n k n k k X X X E X D X k B = = = = = 设随机变量 相互独立 它们具有数学期望和 方差: 记 若存在正数 ， 使得 2 2 1 1 lim | | 0. n k k n n k E X B + → + = − = 1 即随机变量之和 的标准化变量 n k k X = 1 1 1 n n k k k k n n k k X E X Z D X = = = − = 1 1 n n k k k k n X B = = − = ( ) 的分布函数 F x x n 对于任意 lim ( ) n n F x → 满足 = ( ). x 独立不同分布的 中心极限定理 近似~N(0,1) 则{ }服从中心极限定理. Xn Zn
定理2表明： 无论各个随机变量X1,X2,.,Xm,.服从什么分布， 只要满足定理的条件，那么它们的和∑X当n很大时， 近似地服从正态分布。 2空4含时 如实例中射击偏差 即由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机变量， 其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小，这样的 随机变量近似服从正态分布
定理2 表明: 1 1 2 , , , , . , n k k X n X n X X = 无论各个随机变量 服从什么分布 只要满足定理的 当 很大时， 近似地 条件，那么它 服从正 的和 态分布 们 如实例中射击偏差 即由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机变量， 其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小，这样的 随机变量近似服从正态分布 2 1 1 1 ~ ( , ) n n k k k k n k k X N = = = 近似地
二项分布的中 定理3棣莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace) 心极限定理 设随机变量7n~b(n,p),n=1,2,.则对于任意x, 证明：设=心，若在第k饮试验中A怀发生 1,若在第k次试验中A发生，k=1,2,. 其中，X,X2,X。独立同(0-1)分布，则nn=∑X, k=1 E(nn)=p,D(7m)=np(1-p)(k=1,2,.,n), 根据定理1得 lim P pI-p) nn-np 小p √Vp1-p) 近似~N(0,1)
lim ~ ( , ) 1,2 ( ). (1 , . ) n n n np P x x n b n p p p n x → − = − = 设随机变量 ， 则对于任意 ， 恒有 定理3 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre－Laplace) 证明: ( ) , E np n = ( ) (1 ) ( 1,2, , ), D np p k n n = − = 根据定理1得 lim (1 ) n n np P x np p → − = − 1 lim (1 ) n k k n X np P x np p = → − − 2 2 1 d ( ). 2π t x e t x − − = = 1 2 n 其中，X X X , ,., 0-1 独立同（ ）分布， 1 , n n k k X = 则 = 0, , 1, , 1,2, . k k A X k A k = = 若在第 次试验中 不发生 设 若在第 次试验中 发生 二项分布的中 心极限定理 近似~N(0,1) (1 ) n np np p − −