Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai, 2003 第五章函数的小波分解及其应用 利用多分辨率分析,我们已构造出尺度函数φ和小波函数v。本章将研究函数的小波分 解。我们将在第一节首先给出两种分解式,并导出计算小波系数的 Mallat算法。在第二 节将讨论小波的消失矩,它的光滑性以及与滤波函数mo(ω)在ω=π处的零点的重数的 关系。第三节将用小波系数刻划函数的正则性 Mallat算法 给定L(R)的一个正交多分辨率分析{V}/∈z。设使得V⊕W=V+1,j∈Z 假定尺度函数φ和小波函数v满足S(y)=VS(v)=W。由第四章的结果,可推出 如下的表示定理 定理1:设∫∈L2(R),则对任意的整数jo有如下的表达式 f(t)=∑dkk() jk∈z f()=∑%A()+∑∑4k() 其中 Cj. k=<f, Pj k>,d;, k=< f, v,j, k> 我们引入滤波器系数{hk}和{gk},它们满足 y(t)=∑h(2-k) )=∑9(2t-k)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 1 第五章 函数的小波分解及其应用 利用多分辨率分析，我们已构造出尺度函数ϕ和小波函数ψ。本章将研究函数的小波分 解。我们将在第一节首先给出两种分解式，并导出计算小波系数的Mallat算法。在第二 节将讨论小波的消失矩，它的光滑性以及与滤波函数m0(ω)在ω = π处的零点的重数的 关系。第三节将用小波系数刻划函数的正则性。 1. Mallat算法 给定L 2 (R)的一个正交多分辨率分析{Vj}j∈Z。设Wj使得Vj ⊕ Wj = Vj+1,∀j ∈ Z. 假定尺度函数ϕ和小波函数ψ满足S(ϕ) = V0,S(ψ) = W0。由第四章的结果，可推出 如下的表示定理。 定理1: 设f ∈ L 2 (R)，则对任意的整数j0 有如下的表达式 f(t) = X j,k∈Z dj,kψj,k(t) (1) 或 f(t) = X k∈Z cj0,kϕj0,k(t) + X j≥j0 X k∈Z dj,kψj,k(t) (2) 其中 cj,k =< f, ϕj,k >, dj,k =< f, ψj,k > (3) 我们引入滤波器系数{hk}和{gk}，它们满足 ϕ(t) = X k hkϕ(2t − k) (4) 和 ψ(t) = X k gkψ(2t − k) (5)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai, 2003 其中,9k=(-1)h1-k 对(3)中的系数cjk和d1k,我们有 定理2( Mallat快速算法):对任何jk∈Z,有 (1)分解算法 C h(-2k Cj+1, 1, i, s. 7 g1-2k Cj+1,1 2)重构算法 +1k=>39+021) 证:(1)由双尺度方程(3),得 ∫f(2(2t-k)dt ∑h∫f(t)25=(21+1t-2k-D 立∑hJf(19+12k+(Ddt ∑h-2k+1 第一式得证,类似的,由(⑤5)可证得第二式 (2)由于V+1=V⊕W,故存在{a},{bn}∈P2,使得 k(t)=∑(a(t)+bv(t) 由标准正交性,得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 2 其中，gk = (−1)kh1−k。 对(3)中的系数cj,k和dj,k,我们有 定理2（Mallat快速算法）: 对任何j, k ∈ Z, 有 (1) 分解算法 cj,k = 1 √ 2 X l hl−2kcj+1,l, dj,k = 1 √ 2 X l gl−2kcj+1,l (2)重构算法 cj+1,k = 1 √ 2 X l (hk−2lcj,l + gk−2ldj,l) 证：(1)由双尺度方程(3)，得 cj,k = R f(t)2 j 2ϕ(2j t − k)dt = P l hl R f(t)2 j 2ϕ(2j+1t − 2k − l)dt = √ 1 2 P l hl R f(t)ϕj+1,2k+l(t)dt = √ 1 2 P l hl−2kcj+1,l 第一式得证，类似的，由(5)可证得第二式。 (2) 由于Vj+1 = Vj ⊕ Wj，故存在{al} , {bl} ∈ l 2，使得 ϕj+1,k (t) = X ` (a`ϕj,` (t) + b`ψj,` (t)) (6) 由标准正交性，得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 a=∫9(t)y+1k(t)dt 2+5∫9(2t-O)y(2+t-k)dt 2+∑hmJ(2+1-2-m)9(2+1t-k)dt 立∑hmJ(t=2-m)(t-k)dt ∑ 类似地,有 b 在(6)式两边与f作内积,即得证。 在应用中,我们常常使用只有有限个非零元的面具{hk},对应的滤波器称为FIR滤 波器( finite impulse filters) Daubechies小波族都属于这种类型, 对FIR滤波器,在分解算法中,求和是有限和,故分解过程的计算复杂性与输入数 据量成正比,即 Mallat算法是O(N)的。类似的,重构算法也是O(N)的。对大数据量, 它比FFT(O( N log m)更具优越性 2.小波函数的性质 我们对给定的函数f,按公式(1)或(2)首先得到分解系数{(c;k}和{d1k},然后重构得到函 数∫。如果仅仅进行分解,然后再重构,显然不是我们的目的。我们希望通过对分解系 数{c,k}和{d1k}的分析,获得关于函数f的某些性质的认识 上一章我们引入的小波函数满足v(0)=0,即 ∞ v(t)dt=0 更一般地,我们引入消失矩的概念 定义:称函数∫有m(m∈z+)阶消失矩,若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 3 al = R ϕj,` (t)ϕj+1,k (t) dt = 2j+ 1 2 R ϕ (2j t − `)ϕ (2j+1t − k) dt = 2j+ 1 2 P m hm R ϕ (2j+1t − 2` − m)ϕ (2j+1t − k) dt = √ 1 2 P m hm R ϕ (t − 2l − m)ϕ (t − k) dt = √ 1 2 P m hmδ2`+m,k = √ 1 2 hk−2` 类似地，有 bl = 1 √ 2 gk−2l 在(6)式两边与f作内积，即得证。 在应用中，我们常常使用只有有限个非零元的面具{hk}，对应的滤波器称为FIR滤 波器(finite impulse filters)。Daubechies小波族都属于这种类型。 对FIR滤波器，在分解算法中，求和是有限和，故分解过程的计算复杂性与输入数 据量成正比，即Mallat算法是O(N)的。类似的，重构算法也是O(N)的。对大数据量， 它比F F T(O(N log N))更具优越性。 2．小波函数ψ的性质 我们对给定的函数f，按公式(1)或(2)首先得到分解系数{cj,k}和{dj,k}，然后重构得到函 数f。如果仅仅进行分解, 然后再重构，显然不是我们的目的。我们希望通过对分解系 数{cj,k}和{dj,k}的分析，获得关于函数f的某些性质的认识。 上一章我们引入的小波函数满足ψˆ(0) = 0，即 Z +∞ −∞ ψ(t)dt = 0. 更一般地，我们引入消失矩的概念 定义：称函数f有m(m ∈ Z +)阶消失矩，若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 t"(t)dt=0,n=0, 1 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理:设函数f∈Cm(R)不恒为常数,且l(0≤1≤m)阶导数f((t)有界。函数f(t)有界 且有如下的衰减 ≤C(1+|+)-°,a>m+1, 若对任意的整数,j和k,k,有双正交关系 () 则f有m阶消失矩,即 t"f(t)ldt=0,V0≤m≤m 证明:用归纳法.l=0时的证明同下面的证明一样,无需单独证。设0<l<m,并且对 任何n,n<l,tf(t)的积分为零。要证对n=l亦然 任取i,k0∈Z,在20ko处对f(t)作 Taylor展开,得 ()=∑/(2) (t-20ko)"+o(lt-2ko) 所以,对任给的e>0,存在δ>0,当t-2和k<6时,有o(t-2k)≤|t-20ko 取j>max(ji,0),则由(7)有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 4 Z +∞ −∞ t n f(t)dt = 0, n = 0, 1, · · · , m. 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理：设函数f ∈ C m(R)不恒为常数，且l(0 ≤ l ≤ m)阶导数f (l) (t)有界。函数 ˜f(t)有界 且有如下的衰减 ¯ ¯ ¯ ¯ ∼ f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C(1 + |t|) −α , α > m + 1, 若对任意的整数j, j0和k, k0，有双正交关系 D fj,k, ˜fj 0 ,k0 E = δj,j0 ,δk,k0. (7) 则 ˜f有m阶消失矩，即 Z +∞ −∞ t n ˜f(t)dt = 0, ∀0 ≤ n ≤ m. 证明：用归纳法.l = 0时的证明同下面的证明一样，无需单独证。设0 < l ≤ m，并且对 任何n, n < l，t n ˜f(t)的积分为零。要证对n = l亦然。 任取j0, k0 ∈ Z，在2 j0 k0处对f(t)作Taylor展开，得 f(t) = X l n=0 f (n) (2j0 k0) n! (t − 2 j0 k0) n + o( ¯ ¯t − 2 j0 k0 ¯ ¯ l ) 所以，对任给的² > 0, 存在δ > 0，当|t − 2 j0 k0| l < δ时，有o(|t − 2 j0 k0| l ) ≤ ε |t − 2 j0 k0| l 取j > max(j0, 0)，则由(7)有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 ∫f(t)f(2t-2+0ko)e (n)(2 ko)nf(23t-23+3o ko)dt f o(lt-230kol)f(2't-23*yoko)dt P如了(t-210)(21-2+如k0+J Moo t'f(t)dt+J 而关于J,有 o(u-2k)(2-2+6o)dn ≤c2-(+)Jrod+ca+b(+210-d lyl≤21 ≤Ce·2-(+1)/+1(1+)dy+C2-∫(1+l)l-°d ly≥6 (+1)j 在等式 0=26∠0m+2 中令 得 f0)(20to) t'f(t)disC 故有 l! t'f(tdt=0 由于f不恒为常数,我们推证存在j0,k使得f((2加k0)≠0.当l=0,1时,显然。而 在≥2时,若f0(2k)=0,Vj,k∈Z,由连续性f((t)=0,Ⅵt∈R,因而f(t)是l-1次 多项式。这时∫不可能有界
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 5 0 = + R∞ −∞ f(t) ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt = P l n=0 f (n) (2 j 0 k0) n! + R∞ −∞ (t − 2 j0 k0) n ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt + + R∞ −∞ o(|t − 2 j0 k0| l ) ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt = f (l) (2j0 k0) l! + R∞ −∞ (t − 2 j0 k0) n ˜f(2j t − 2 j+j0 k0)dt + J = f (l) (2 j0 k0) l! 2 −(l+1)j R +∞ −∞ t l ˜f (t) dt + J. 而关于J，有 |J| ≤ R +∞ −∞ o ³ |t − 2 j0 k0| l ´ ¯¯ ¯ ˜f (2j t − 2 j+j0 k0) ¯ ¯ ¯ dt ≤ ² R |y|≤δ |y| l ¯ ¯ ¯ ˜f (2j y) ¯ ¯ ¯ dy + C R |y|>δ (1 + |y|) l ¯ ¯ ¯ ˜f (2j y) ¯ ¯ ¯ dy ≤ ² · 2 −(l+1) R |y|≤2 j δ |y| l ¯ ¯ ¯ ˜f (y) ¯ ¯ ¯ dy + C R |y|>δ (1 + |y|) l (1 + 2j |y|) −α dy ≤ C² · 2 −(l+1)j R +∞ −∞ |y| l (1 + |y|) −α dy + C2 −jα R |y|≥δ (1 + |y|) l |y| −α dy ≤ C² · 2 −(l+1)j + C2 −jα 在等式 0 = f (l) (2j0 k0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t)dt + J2 (l+1)j 中令j → +∞，得 ¯ ¯ ¯ ¯ f (l) (2j0 t0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t) dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C² 故有 f (l) (2j0 t0) l! Z +∞ −∞ t l ˜f (t) dt = 0 由于f不恒为常数，我们推证存在j0, k0使得f (l) (2j0 k0) 6= 0. 当l = 0, 1时，显然。而 在l ≥ 2时，若f (l) (2j0 k0) = 0, ∀j0, k0 ∈ Z,由连续性f (l) (t) = 0, ∀t ∈ R，因而f (t)是l−1次 多项式。这时f不可能有界